Considere no espaço vetorial V das funções polinomiais com coeficientes em C o produto interno dado por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t, para p, q in V
Seja D in L(V, V) o operador derivação em V, isto é, D(p)=p^prime para todo p in V. Mostre que D não admite adjunto.

Passo 1

Estamos no espaço vetorial V das funções polinomiais sobre C com o produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt
O operador Dcolon Vto V é a derivação, D(p)=p'. Queremos mostrar que não existe D^*in L(V,V) tal que
lang<= Dp,qrang<==lang<= p,D^*qrang<= forall p,qin V

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um adjunto D^*. Então para todo par p,qin V vale
lang<= Dp,qrang<= =integral0^1p'(t),q(t),dt ;=;lang<= p,D^*qrang<= =integral0^1p(t),(D^*q)(t),dt

Passo 3

Fazemos integração por partes na integral integral0^1p'(t),q(t),dt. Como p e q são polinômios, obtemos
integral0^1p'(t),q(t),dt =l[p(t),q(t)r]0^1 -integral0^1p(t),q'(t),dt
Isto é,
lang<= Dp,qrang<= =p(1),q(1)-p(0),q(0) ;-;integral0^1p(t),q'(t),dt

Passo 4

Comparando com
lang<= Dp,qrang<==integral0^1p(t),(D^*q)(t),dt,
vemos que deve valer, para todo pin V,
integral0^1p(t),(D^*q)(t),dt = -integral0^1p(t),q'(t),dt ;+;p(1),q(1);-;p(0),q(0)
O termo -integral0^1p,q' corresponde a lang<= p,-Dqrang<=, mas restam os termos de contorno
Lambda(p)=p(1),q(1)-p(0),q(0).

Passo 5

Para que o funcional linear
Lambdacolon pmapsto p(1),q(1)-p(0),q(0)
se expresse como lang<= p,rrang<= com rin V, seria preciso
p(1),q(1)-p(0),q(0) =integral0^1p(t),r(t),dt forall pin V
Mas a avaliação em pontos não é representável por produto interno com polinômio em V. A única forma de anular esse termo de contorno para todos p seria ter q(0)=q(1)=0. Como q é um polinômio arbitrário em V, isso não vale para todo q.

Resposta

Não existe operador adjunto D^*colon Vto V para D.

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