Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que, se
é invertível, então
é invertível e
.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão finita com um produto interno e um operador linear invertível
. Queremos mostrar que o adjunto de
, denotado
, também é invertível e que
Passo 2
Lembramos a propriedade fundamental dos adjuntos: para quaisquer operadores lineares
vale
Em particular, aplicando com
e
, temos
Passo 3
Como
é invertível,
. Então
Mas o adjunto da identidade é ela própria,
. Logo
Passo 4
De modo análogo, trocando a ordem, usamos
e como
obtemos
Passo 5
Dos Passos 3 e 4 concluímos que
e
são inversos um do outro. Portanto
é invertível e