Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que, se T in L(V, V) é invertível, então T^* é invertível e (T^*)^-1=(T^-1)^*.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão finita com um produto interno e um operador linear invertível Tcolon V to V. Queremos mostrar que o adjunto de T, denotado T^*, também é invertível e que
l(T^*r)^-1 ;=;l(T^-1r)^*

Passo 2

Lembramos a propriedade fundamental dos adjuntos: para quaisquer operadores lineares A,Bcolon Vto V vale
(AB)^* ;=; B^*A^*
Em particular, aplicando com A=T^-1 e B=T, temos
l(T^-1Tr)^* ;=; T^*(T^-1)^*

Passo 3

Como T é invertível, T^-1T = I. Então
I^* ;=; T^*(T^-1)^*
Mas o adjunto da identidade é ela própria, I^*=I. Logo
T^*(T^-1)^* ;=; I

Passo 4

De modo análogo, trocando a ordem, usamos
(TT^-1)^* ;=;(T^-1)^*T^*,
e como TT^-1=I obtemos
(T^-1)^*T^* ;=; I

Passo 5

Dos Passos 3 e 4 concluímos que T^* e (T^-1)^* são inversos um do outro. Portanto T^* é invertível e
l(T^*r)^-1 ;=;(T^-1)^*

Resposta

l(T^*r)^-1 = (T^-1)^*.

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