De que maneira podemos relacionar a medida angular entre vetores e o produto escalar?

Passo 1

Estamos estudando vetores em espaço euclidiano e queremos relacionar a medida do ângulo entre dois vetores não nulos u e v com o produto escalar. Para isso, vamos entender tanto a definição algébrica do produto escalar quanto sua interpretação geométrica.

Passo 2

Definição algébrica: dados u = (u1,u2,dots,un) e v = (v1,v2,dots,vn), o produto escalar é\r
ucdotv = sumi=1^n ui,vi \r
Definição geométrica: o produto escalar também pode ser expresso em termos das normas (comprimentos) de u e v e do cosseno do ângulo theta entre eles:\r
ucdotv = |u|,|v| costheta

Passo 3

Isolando costheta na expressão geométrica, obtemos a fórmula que relaciona diretamente o produto escalar com a medida angular:\r
costheta = ucdotv|u|,|v| \r
Como thetain[0,pi], podemos então determinar o ângulo:\r
theta = arccos!gl(ucdotv|u|,|v|gr)

Resposta

A medida do ângulo theta entre dois vetores não nulos u e v fica dada por\r
theta = arccos!gl(ucdotv|u|,|v|gr)

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