Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para t>0. Mostre que os seguintes pares de funções são linearmente independentes.
f1(t)=e^t, f2(t)=log (t).

Passo 1

O enunciado diz que estamos no espaço vetorial de todas as funções reais definidas para t>0 e pede para mostrar que as funções
f1(t)=e^t, f2(t)=log(t)
são linearmente independentes. Isso significa usar a definição: se uma combinação
a,f1(t)+b,f2(t)=0para todo t>0
implica que a=0 e b=0, então f1 e f2 são independentes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a e b tais que
a,e^t+b,log(t)=0
para todo t>0. Nosso objetivo é mostrar que obrigatoriamente a=0 e b=0.

Passo 3

Avalie a identidade em t=1. Como log(1)=0 e e^1=e, temos
a,e + bcdot 0 =0 Longrightarrow a,e=0 Longrightarrow a=0

Passo 4

Com a=0, a combinação original vira
b,log(t)=0
para todo t>0. Escolha, por exemplo, t=2. Como log(2)neq 0, concluímos que
b=0

Passo 5

Chegamos a a=0 e b=0 como únicos escalares que aniquilam a combinação linear. Portanto, pelas definições, as funções f1(t)=e^t e f2(t)=log(t) são linearmente independentes.

Resposta

As funções são linearmente independentes.

Exercícios relacionados