Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para
. Mostre que os seguintes pares de funções são linearmente independentes.
.
Passo 1
O enunciado diz que estamos no espaço vetorial de todas as funções reais definidas para
e pede para mostrar que as funções
são linearmente independentes. Isso significa usar a definição: se uma combinação
implica que
e
, então
e
são independentes.
Passo 2
Suponha que existam escalares
e
tais que
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que obrigatoriamente
e
.
Passo 3
Avalie a identidade em
. Como
e
, temos
Passo 4
Com
, a combinação original vira
para todo
. Escolha, por exemplo,
. Como
, concluímos que
Passo 5
Chegamos a
e
como únicos escalares que aniquilam a combinação linear. Portanto, pelas definições, as funções
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções são linearmente independentes.