Considere o espaço vetorial V=R^3. Sejam U=Span(1,1,0) e W=Span(1,1,1).
A soma U+W é direta?

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=R^3 e os subespaços
U=Span(1,1,0), W=Span(1,1,1)
Pergunta-se se a soma U+W é direta. Para responder, vamos usar o critério de suma direta:
U+W é diretaiff Ucap W=0 é

Passo 2

Para caracterizar Ucap W, seja um vetor vin Ucap W. Então existem alpha,betainR tais que
v=alpha,(1,1,0) e v=beta,(1,1,1)
Comparando coordenadas, das primeiras duas temos alpha=beta, e da terceira
0=betaimpliesbeta=0impliesalpha=0
Logo v=(0,0,0) é o único vetor comum.

Passo 3

Concluímos que
Ucap W=0,
portanto a soma U+W é direta.

Resposta

Sim, U+W é soma direta.

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