Dados
e
subespaços de um espaço vetorial
, tais que
, então mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subespaços de um espaço vetorial
com
, e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é a definição de soma de subespaços, ou seja,
e o critério de igualdade de conjuntos via inclusão dupla.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Seja
. Então, por definição, existem
e
tais que
Como
, temos
. E como
é subespaço, é fechado sob soma, logo
. Assim
, provando
.
Passo 3
Agora mostramos que
. Seja
. Como
é subespaço, contém o vetor nulo
. Então
com
e
. Pela definição de soma, isso implica
. Logo
.
Passo 4
Tendo as duas inclusões
concluímos que