Dados U e W subespaços de um espaço vetorial V, tais que U subset W, então mostre que U+W=W .

Passo 1

O enunciado diz que U e W são subespaços de um espaço vetorial V com Usubset W, e pede para mostrar que
U + W ;=; W
O conteúdo aqui é a definição de soma de subespaços, ou seja,
U + W = ,u + w mid uin U,;win W,
e o critério de igualdade de conjuntos via inclusão dupla.

Passo 2

Mostramos primeiro que U+Wsubset W. Seja xin U+W. Então, por definição, existem uin U e win W tais que
x = u + w
Como Usubset W, temos uin W. E como W é subespaço, é fechado sob soma, logo u+win W. Assim xin W, provando U+Wsubset W.

Passo 3

Agora mostramos que Wsubset U+W. Seja win W. Como U é subespaço, contém o vetor nulo 0. Então
w = 0 + w,
com 0in U e win W. Pela definição de soma, isso implica win U+W. Logo Wsubset U+W.

Passo 4

Tendo as duas inclusões
U+Wsubset W e Wsubset U+W,
concluímos que
U+W = W

Resposta

U+W = W

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