Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para t>0. Mostre que os seguintes pares de funções são linearmente independentes.
f1(t)=t, f2(t)=1t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial das funções reais definidas em t>0, as funções
f1(t)=t, f2(t)=1t
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear e um argumento de identidade de polinômio.

Passo 2

Pela definição de independência linear, devemos provar que se existirem escalares a,binR tais que
a,f1(t)+b,f2(t)=0
para todo t>0, então obrigatoriamente a=0 e b=0.

Passo 3

Substituindo f1(t)=t e f2(t)=1/t na combinação, obtemos
a,t + b,1t = 0
para todo t>0. Multiplicando ambos os lados por t, chega-se à identidade
a,t^2 + b = 0
válida para todo t>0.

Passo 4

O termo a,t^2+b é um polinômio em t que se anula em infinitos valores de t; daí segue que todos os coeficientes desse polinômio devem ser nulos. Logo
a=0 e b=0
Isso prova que não há combinação linear não trivial que gere a função zero, ou seja, f1 e f2 são linearmente independentes.

Resposta

As funções ,f1(t)=t e ,f2(t)=1/t são linearmente independentes.

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