Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para
. Mostre que os seguintes pares de funções são linearmente independentes.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial das funções reais definidas em
, as funções
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear e um argumento de identidade de polinômio.
Passo 2
Pela definição de independência linear, devemos provar que se existirem escalares
tais que
para todo
, então obrigatoriamente
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na combinação, obtemos
para todo
. Multiplicando ambos os lados por
, chega-se à identidade
válida para todo
.
Passo 4
O termo
é um polinômio em
que se anula em infinitos valores de
; daí segue que todos os coeficientes desse polinômio devem ser nulos. Logo
Isso prova que não há combinação linear não trivial que gere a função zero, ou seja,
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.