Sejam U=(x, y, 0) ; x, y in R e W=(x, 0, z) ; x, z in R subespaços do R^3. A soma U+W é direta?

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
U = (x,y,0)mid x,yinR, W = (x,0,z)mid x,zinR
do espaço R^3 e pergunta se a soma U+W é direta. Para isso precisamos usar o conceito de soma direta de subespaços:
U+W é direta iff Ucap W = (0,0,0)é

Passo 2

Para entender Ucap W, note que um vetor v em Ucap W deve pertencer simultaneamente a
U:;v=(x,y,0), W:;v=(x',0,z)
Assim, as coordenadas de v satisfazem
y = 0, z = 0, x = x'

Passo 3

Com y=0 e z=0 vemos que
Ucap W = (x,0,0)mid xinR
Esse conjunto não se reduz ao vetor nulo; ele é justamente a reta gerada por (1,0,0).

Passo 4

Como Ucap Wneq(0,0,0), a soma U+W não é direta.

Resposta

A soma U+W não é direta.

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