Considere o espaço vetorial V=R^3. Seja W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-z=0 subset V.
Determine uma base para W.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço
W = (x,y,z)in R^3 mid x+2y-z=0
Queremos encontrar uma base de W. Para isso, vamos usar o método de parametrização de soluções de equações lineares.

Passo 2

Da equação x+2y-z=0, isolamos x:
x = -2y + z

Passo 3

Como y e z são livres, seja y=s e z=t. Assim
(x,y,z) = (-2s+t,;s,;t) = s,(-2,1,0) + t,(1,0,1)

Passo 4

Logo
W = span(-2,1,0),,(1,0,1)

Passo 5

Verificamos a independência linear: se
c1(-2,1,0)+c2(1,0,1) = (0,0,0),
então do segundo componente vem c1=0 e do terceiro vem c2=0. Logo os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base de W é
,(-2,1,0),;(1,0,1)

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