Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes.
(1,1,1),(0,1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,1,1) e (0,1,-2) em R^3 são linearmente independentes. Esse conteúdo envolve o conceito de combinação linear e a definição de independência vetorial: dois vetores são independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial.

Passo 2

Para testar independência, montamos a combinação linear igual ao vetor nulo:
alpha,(1,1,1);+;beta,(0,1,-2);=;(0,0,0),
onde alpha e beta são escalares reais a determinar.

Passo 3

Analisamos componente a componente da equação acima:
primeira componente:
alphacdot1 ;+;betacdot0 = 0 Longrightarrow alpha = 0
Segunda componente:
alphacdot1 ;+;betacdot1 = 0 Longrightarrow 0 + beta = 0 Longrightarrow beta = 0
Terceira componente:
alphacdot1 ;+;betacdot(-2) = 0 Longrightarrow 0 - 2cdot0 = 0,
que está de acordo com alpha=0 e beta=0.

Passo 4

Como a única solução para alpha e beta é a trivial ( alpha=beta=0), concluímos que não existe combinação não trivial que anule os vetores. Logo, eles são independentes.

Resposta

Os vetores (1,1,1) e (0,1,-2) são linearmente independentes.

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