Verifique se o conjunto das funções de R em R, denotado por F(R, R), com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas abaixo, é um espaço vetorial
+: integral, g in F(R, R), onde f+g in F(R, R) é definida por
(f+g)(x)=12[f(x)+g(x)]
bul<=t: alpha in R, f in F(R, R), onde alpha cdot f in F(R, R) é definida por
(alpha cdot f)(x)=alpha cdot f(x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F(R,R) das funções de R em R, com a “adição”
(f+g)(x)=tfrac12l(f(x)+g(x)r)
e a multiplicação por escalar usual
(alphacdot f)(x)=alpha,f(x),
é um espaço vetorial sobre R. Vamos conferir os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
  • Se f,ginF(R,R), então (f+g)(x)=tfrac12[f(x)+g(x)] é ainda uma função real em real.
  • Se alphainR e finF(R,R), então (alphacdot f)(x)=alpha f(x) também é uma função real em real.
    Logo, há fechamento.

Passo 3

Comutatividade da adição:
(f+g)(x)=tfrac12[f(x)+g(x)]=tfrac12[g(x)+f(x)]=(g+f)(x),
então f+g=g+f. Este axioma vale.

Passo 4

Associatividade da adição: calculemos (f+g)+h e f+(g+h):
((f+g)+h)(x) =tfrac12l((f+g)(x)+h(x)r) =tfrac12l(tfrac12[f(x)+g(x)]+h(x)r) =tfrac14[f(x)+g(x)]+tfrac12h(x),
enquanto
(f+(g+h))(x) =tfrac12l(f(x)+(g+h)(x)r) =tfrac12l(f(x)+tfrac12[g(x)+h(x)]r) =tfrac12f(x)+tfrac14[g(x)+h(x)],
e claramente
tfrac14[f+g]+tfrac12hneqtfrac12f+tfrac14[g+h] em geral.
Logo, a adição não é associativa.

Passo 5

Elemento neutro aditivo: se existisse e tal que f+e=f para todo f, teríamos
(f+e)(x)=tfrac12[f(x)+e(x)]=f(x) Longrightarrow e(x)=2f(x)-f(x)=f(x),
isto é, e dependeria de f. Não há função única que faça f+e=f para todo f.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial, pois falta associatividade da “adição” e não existe elemento neutro aditivo.

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