Verifique se o conjunto das funções de
em
, denotado por
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas abaixo, é um espaço vetorial
, onde
é definida por
, onde
é definida por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das funções de
em
, com a “adição”
e a multiplicação por escalar usual
é um espaço vetorial sobre
. Vamos conferir os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
- Se
, então é ainda uma função real em real. - Se
e , então também é uma função real em real.
Logo, há fechamento.
Passo 3
Comutatividade da adição:
então
. Este axioma vale.
Passo 4
Associatividade da adição: calculemos
e
:
enquanto
e claramente
em geral.
Logo, a adição não é associativa.
Logo, a adição não é associativa.
Passo 5
Elemento neutro aditivo: se existisse
tal que
para todo
, teríamos
isto é,
dependeria de
. Não há função única que faça
para todo
.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial, pois falta associatividade da “adição” e não existe elemento neutro aditivo.