Seja
um subespaço vetorial de dimensão 2, do espaço vetorial
. Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e justifique suas respostas.
a) Toda base de
pode ser estendida a uma base de
adicionando um vetor do espaço
;
b) Toda base
, de
, pode ser reduzida a uma base de
removendo um dos vetores de
.
a) Toda base de
b) Toda base
Passo 1
O enunciado nos dá um subespaço vetorial
com
e pede para verificar as afirmações:
a) Toda base de
pode ser estendida a uma base de
adicionando um vetor de
.
b) Toda base de
pode ser reduzida a uma base de
removendo um dos vetores de
.
b) Toda base
Para isso vamos usar:
– Propriedade de dimensão de espaços vetoriais.
– Teorema de extensão de conjunto linearmente independente a base.
– Contraexemplo para mostrar falsidade de (b).
– Propriedade de dimensão de espaços vetoriais.
– Teorema de extensão de conjunto linearmente independente a base.
– Contraexemplo para mostrar falsidade de (b).
Passo 2
Para (a), seja
uma base de
. Então
é um conjunto linearmente independente em
e
. Pelo teorema de extensão, existe
tal que
e o conjunto
é linearmente independente. Como tem três vetores em
, esse conjunto gera
. Logo
é base de
, provando que (a) é verdadeira.
Passo 3
Para (b), seria preciso que, dada qualquer base
de
, ao remover um dos
as duas retas remanescentes formassem exatamente
. Mas em geral isso não ocorre. Por exemplo, tome
e a base
de
. Cada vetor de
tem terceira coordenada diferente de zero, logo qualquer par extraído de
gera um plano que não está contido no plano
. Assim não existe escolha de um vetor a remover em
que deixe dois vetores cuja combinação linear seja exatamente
. Portanto (b) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira.
b) Falsa.
b) Falsa.