Seja F um subespaço vetorial de dimensão 2, do espaço vetorial R^3. Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e justifique suas respostas.
a) Toda base de F pode ser estendida a uma base de R^3 adicionando um vetor do espaço R^3;
b) Toda base B, de R^3, pode ser reduzida a uma base de F removendo um dos vetores de B.

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço vetorial FsubsetR^3 com dim F=2 e pede para verificar as afirmações:
a) Toda base de F pode ser estendida a uma base de R^3 adicionando um vetor de R^3.
b) Toda base B de R^3 pode ser reduzida a uma base de F removendo um dos vetores de B.
Para isso vamos usar:
– Propriedade de dimensão de espaços vetoriais.
– Teorema de extensão de conjunto linearmente independente a base.
– Contraexemplo para mostrar falsidade de (b).

Passo 2

Para (a), seja BF=v1,v2 uma base de F. Então v1,v2 é um conjunto linearmente independente em R^3 e dimR^3=3>dim F=2. Pelo teorema de extensão, existe winR^3 tal que wnotinspanv1,v2 e o conjunto v1,v2,w é linearmente independente. Como tem três vetores em R^3, esse conjunto gera R^3. Logo v1,v2,w é base de R^3, provando que (a) é verdadeira.

Passo 3

Para (b), seria preciso que, dada qualquer base B=u1,u2,u3 de R^3, ao remover um dos ui as duas retas remanescentes formassem exatamente F. Mas em geral isso não ocorre. Por exemplo, tome
F=span(1,0,0),(0,1,0)(plano xy-)
e a base
B=l(1,0,1),,(1,1,0),,(0,1,1)r
de R^3. Cada vetor de B tem terceira coordenada diferente de zero, logo qualquer par extraído de B gera um plano que não está contido no plano xy. Assim não existe escolha de um vetor a remover em B que deixe dois vetores cuja combinação linear seja exatamente F. Portanto (b) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira.
b) Falsa.

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