Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} e a matriz A=\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\\\ -2 & 7\end{array}\right).
(a) Prove que \langle u, v\rangle=u^{T} A v, define um produto interno.
(b) Determine a norma dos vetores u=\binom{4}{-2}, v=\binom{-2}{7} e w=\binom{1}{-1}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e_{1}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
(a) Mostrar que \langle u,v\rangle = u^{T} A v define um produto interno (isto é: verificar simetria, linearidade e positividade).
(b) Calcular as normas (associadas a esse produto interno) dos vetores \displaystyle u=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-2\end{pmatrix}, \displaystyle v=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]7\end{pmatrix} e \displaystyle w=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}. (A norma é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x^{T}Ax}.)
(c) Determinar quais dos vetores u,v,w são ortogonais a e_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix} relativamente a esse produto interno (isto é: verificar \langle x,e_1\rangle=0?).
(d) Aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{(1,0)^{T},(1,1)^{T}\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^2 relativa a \langle\cdot,\cdot\rangle.
(e) Determinar o círculo unitário
S^{1}:=\{v\in\mathbb{R}^2:\|v\|=1\},
ou seja, escrever a equação da curva \{v: v^{T}Av=1\}.
(f) Fazer o gráfico do círculo unitário S^{1} — fornecer a forma geométrica e informações para desenhá-lo (interseções, eixos principais, orientação).]
Passo 2
Definição e verificação das propriedades de produto interno (responder ao item (a)).
Primeiro, recordando o que é um produto interno: uma função \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é produto interno se, para todos x,y,z\in\mathbb{R}^2 e todos \alpha\in\mathbb{R}, valem:
Linearidade na primeira entrada (ou na segunda, dependendo da convenção; aqui uso linearidade em cada argumento separadamente): \langle \alpha x + y, z\rangle = \alpha\langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle.
Positividade definida: \langle x,x\rangle \ge 0 para todo x, e \langle x,x\rangle =0 só se x=0.
Agora verifico cada propriedade para \langle u,v\rangle = u^{T} A v.
Linearidade: a expressão u^{T}Av é bilinear porque o produto e a soma de matrizes/vetores são lineares. Mais explicitamente, para \alpha\in\mathbb{R} e vetores u_1,u_2,v,
(\alpha u_1+u_2)^{T}A v = \alpha u_1^{T}A v + u_2^{T}A v,
e análoga linearidade vale no segundo argumento. Isso segue das propriedades básicas do produto escalar canônico e da multiplicação matricial.
Simetria: \langle u,v\rangle = u^{T} A v. Como A é simétrica (verificar: A^{T}=A pois a entrada (1,2)=-2 igual à (2,1)=-2), tem-se u^{T} A v = v^{T}A^{T} u = v^{T} A u = \langle v,u\rangle. Logo é simétrico.
Positividade definida: preciso mostrar que x^{T}Ax>0 para todo x\neq0. Para matrizes simétricas 2\times2 uma maneira prática é checar os menores principais (critério de Sylvester para positividade definida): os menores principais devem ser positivos. Aqui:
Primeiro menor principal: a11 = 4>0.
Determinante de A: \det A = 4\cdot7 - (-2)\cdot(-2) = 28 -4 =24>0.
Como ambos são positivos, A é definida positiva e, portanto, x^{T}Ax>0 para x\neq0. Conclui-se que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz todas as propriedades de produto interno.
Portanto \langle u,v\rangle = u^{T} A v define um produto interno em \mathbb{R}^2.
Passo 3
Cálculo das normas (item (b)): fórmula e cálculo para u.
Recordando: a norma associada ao produto interno é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x^{T}Ax}.
Começo por u=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Pode verificar-se que \langle q_i,q_j\rangle = \delta_{ij}.]
Passo 7
Determinação do círculo unitário S^{1}=\{v:\|v\|=1\} (item (e)): expressão da equação quadrática e diagonalização para obter eixos principais e parametrização.
Para \lambda_{1}=8: solução de (A-8I)v=0 leva à equação 2x+y=0, autovetor v_{1}=(1,-2)^{T}.
Para \lambda_{2}=3: solução de (A-3I)v=0 leva à equação x-2y=0, autovetor v_{2}=(2,1)^{T}.
Os autovetores são ortogonais (no produto escalar euclidiano): v_{1}\cdot v_{2}=1\cdot2 + (-2)\cdot1 =0. Normalizando (no produto euclidiano) obtem-se uma matriz ortogonal Q cujas colunas são e_1'=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,-2)^{T} e e_2'=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1)^{T}.
Na base ortonormal de autovetores Q tem-se
A = Q \begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix} Q^{T},
e para v = Q u obtemos
v^{T} A v = u^{T} \begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix} u = 8 u_{1}^{2} + 3 u_{2}^{2}.
Logo os semi-eixos da elipse nas direções dos autovetores são a = 1/\sqrt{8} e b = 1/\sqrt{3}. Note que 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577 (maior) e 1/\sqrt{8}\approx 0{,}354 (menor), portanto o eixo maior está associado a \lambda_{2}=3 e aponta na direção de v_{2}=(2,1)^{T}.
Uma parametrização prática da elipse (item (e) complementar) é:
Esta fórmula dá coordenadas x(\theta),y(\theta) que traçam a elipse 4x^{2}-4xy+7y^{2}=1.
Também é útil obter os pontos de interseção com os eixos coordenados (para desenhar rápido):
Interseção com o eixo x (y=0): 4x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{2}.
Interseção com o eixo y (x=0): 7y^{2}=1 \Rightarrow y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{7}}\approx\pm0{,}377.]
Passo 8
Desenho e interpretação geométrica (item (f)).
Resumo geométrico para o gráfico de S^{1}:
S^{1} é uma elipse centrada na origem, dada por
4x^{2} -4xy + 7y^{2} = 1.
Eixos principais estão nas direções dos autovetores v_{1}=(1,-2) (eixo menor, semi-eixo 1/\sqrt{8}\approx0{,}354) e v_{2}=(2,1) (eixo maior, semi-eixo 1/\sqrt{3}\approx0{,}577).
A inclinação do eixo maior é \arctan\!\big(\tfrac{1}{2}\big)\approx 26{,}565^\circ em relação ao eixo x.
Interseções com os eixos coordenados: (\pm\tfrac{1}{2},0) e (0,\pm 1/\sqrt{7}).
Com estas informações pode-se desenhar a elipse: marque o centro em (0,0), marque os pontos de interseção, trace a elipse inclinada com eixo maior ao longo de (2,1) e eixo menor ao longo de (1,-2), ou usar a parametrização para plotar pontos uniformes em \theta.]
Resposta
(a) Sim. \langle u,v\rangle = u^{T}Av é produto interno porque é bilinear, simétrico (A^{T}=A) e definido positivo (menores principais 4>0 e \det A=24>0).\n
(b) \|u\|=2\sqrt{31},\quad \|v\|=\sqrt{415},\quad \|w\|=\sqrt{15}.\n
(c) Nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_{1} (valores \langle u,e_1\rangle=20,\\ \langle v,e_1\rangle=-22,\\ \langle w,e_1\rangle=6).\n
(d) Uma base ortonormal (relativa a \langle\cdot,\cdot\rangle) obtida por Gram–Schmidt é
equivalente, nas coordenadas de autovetores, a 8u_{1}^{2}+3u_{2}^{2}=1. Parâmetrização: \;v(\theta)=\dfrac{\cos\theta}{\sqrt{40}}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}+\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{15}}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}, \theta\in[0,2\pi).\n
(f) Geometricamente S^{1} é uma elipse centrada na origem, com semi-eixos 1/\sqrt{8} (na direção (1,-2)) e 1/\sqrt{3} (na direção (2,1)), interseções com os eixos em (\pm\tfrac{1}{2},0) e (0,\pm 1/\sqrt{7}); eixo maior inclinado de \arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ em relação ao eixo x.]