Considere o \mathbb{C}-espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] dos polinômios de grau menor o igual a 2 com coeficientes em \mathbb{C}.
(a) Prove que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno, em que o produto interno está dado por
\left\langle a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}, b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right\rangle=a_{2} \overline{b_{2}}+a_{1} \overline{b_{1}}+a_{0} \overline{b_{0}}
(b) Determine a norma dos vetores u=3 i+2 t, v=(2+i) t-t^{2} e w=1-3 i-t^{2}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e=t+i t^{2}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{1,1+t, 1+t+t^{2}\right\} para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
S^{1}:=\left\{v \in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] (polinômios de grau \le 2 com coeficientes complexos) e define uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle por
\left\langle a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0},\; b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right\rangle = a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}.
O enunciado pede:
(a) provar que isso é um produto interno (ou seja, verificar as propriedades exigidas);
(b) determinar as normas de u=3i+2t,\; v=(2+i)t-t^{2},\; w=1-3i-t^{2};
(c) verificar quais de u,v,w são ortogonais ao vetor e=t+i t^{2};
(d) aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{1,\,1+t,\,1+t+t^{2}\} e obter uma base ortonormal;
(e) descrever o círculo unitário S^{1}=\{v\in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\}.
Informações úteis extraídas do enunciado que serão usadas nas contas:
  • Um polinômio p\in P_{2}[\mathbb{C}] é identificado pelos coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2})\in\mathbb{C}^{3}.
  • A aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle soma produtos de coeficiente de p vezes conjugado do coeficiente de q.

Passo 2

O que é preciso verificar para mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno (definição para espaços complexos):
  1. Conjugate-simetria: para todos p,q deve valer \langle p,q\rangle=\overline{\langle q,p\rangle}.
  2. Linearidade no primeiro argumento: para todos \alpha,\beta\in\mathbb{C} e p,r,q\in P_{2}[\mathbb{C}],
\langle \alpha p+\beta r,\; q\rangle = \alpha\langle p,q\rangle + \beta\langle r,q\rangle.
  1. Conjugado-linearidade no segundo argumento (ou seja, \langle p,\alpha q\rangle=\overline{\alpha}\langle p,q\rangle).
  2. Positividade definida: \langle p,p\rangle\ge 0 para todo p, com igualdade só se p=0.
Vou verificar cada item explicitamente usando a forma dada.

Passo 3

Verificação da conjugate-simetria. Tome
p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0},\qquad q(t)=b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0}.
Pela definição,
\langle p,q\rangle = a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}.
Trocar p e q
\langle q,p\rangle = b_{2}\overline{a_{2}}+b_{1}\overline{a_{1}}+b_{0}\overline{a_{0}}.
Tomando o conjugado complexo de \langle q,p\rangle,
\overline{\langle q,p\rangle} = \overline{b_{2}\overline{a_{2}}}+\overline{b_{1}\overline{a_{1}}}+\overline{b_{0}\overline{a_{0}}} = a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}} = \langle p,q\rangle.
Portanto \langle p,q\rangle=\overline{\langle q,p\rangle}.

Passo 4

Verificação da linearidade no primeiro argumento. Tome \alpha,\beta\in\mathbb{C} e p,r,q\in P_{2}[\mathbb{C}] com coeficientes p:(a_{0},a_{1},a_{2}), r:(c_{0},c_{1},c_{2}), q:(b_{0},b_{1},b_{2}). Então \alpha p+\beta r tem coeficientes (\alpha a_{0}+\beta c_{0},\;\alpha a_{1}+\beta c_{1},\;\alpha a_{2}+\beta c_{2}). Assim
\langle \alpha p+\beta r,\; q\rangle = (\alpha a_{2}+\beta c_{2})\overline{b_{2}}+(\alpha a_{1}+\beta c_{1})\overline{b_{1}}+(\alpha a_{0}+\beta c_{0})\overline{b_{0}}.
Agrupando os termos obtemos
\alpha\,(a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}) +\beta\,(c_{2}\overline{b_{2}}+c_{1}\overline{b_{1}}+c_{0}\overline{b_{0}}) = \alpha\langle p,q\rangle + \beta\langle r,q\rangle,
o que mostra linearidade no primeiro argumento.

Passo 5

Verificação da conjugado-linearidade no segundo argumento. Seja \alpha\in\mathbb{C} e q como antes. Então \alpha q tem coeficientes (\alpha b_{0},\alpha b_{1},\alpha b_{2}). Pela definição,
\langle p,\alpha q\rangle = a_{2}\overline{\alpha b_{2}}+a_{1}\overline{\alpha b_{1}}+a_{0}\overline{\alpha b_{0}} = \overline{\alpha}\,(a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}) = \overline{\alpha}\langle p,q\rangle,
portanto o produto é conjugado-linear no segundo argumento, como requerido para espaços complexos.

Passo 6

Positividade definida. Para p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0},
\langle p,p\rangle = a_{2}\overline{a_{2}}+a_{1}\overline{a_{1}}+a_{0}\overline{a_{0}} = |a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}\ge 0.
Se \langle p,p\rangle=0 então |a_{2}|^{2}=|a_{1}|^{2}=|a_{0}|^{2}=0, isto é, a_{0}=a_{1}=a_{2}=0, logo p é o polinômio zero. Assim a positividade é definida estrita. Com isso mostramos todas as propriedades e concluímos que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}].

Passo 7

Cálculo das normas de u,v,w. Lembre que \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle} e que \langle p,p\rangle é a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes.
  1. u=3i+2t. Coeficientes: a_{2}=0,\; a_{1}=2,\; a_{0}=3i.
\|u\|^{2} = |0|^{2}+|2|^{2}+|3i|^{2} = 0+4+9 = 13,
logo \|u\|=\sqrt{13}.
  1. v=(2+i)t - t^{2}. Coeficientes: a_{2}=-1,\; a_{1}=2+i,\; a_{0}=0.
\|v\|^{2} = |-1|^{2}+|2+i|^{2}+|0|^{2} = 1+(4+1)+0 = 6,
logo \|v\|=\sqrt{6}.
  1. w=1-3i - t^{2}. Coeficientes: a_{2}=-1,\; a_{1}=0,\; a_{0}=1-3i.
\|w\|^{2} = |-1|^{2}+|0|^{2}+|1-3i|^{2} = 1+0+(1+9)=11,
logo \|w\|=\sqrt{11}.

Passo 8

Ortogonalidade com e=t+i t^{2}. Primeiro extraio coeficientes de e: b_{2}=i,\; b_{1}=1,\; b_{0}=0.
Para verificar ortogonalidade calculo \langle x,e\rangle para x\in\{u,v,w\}; x é ortogonal a e exatamente quando esse produto for 0.
  1. Para u (coeficientes 0,2,3i):
\langle u,e\rangle = 0\cdot\overline{i} + 2\cdot\overline{1} + 3i\cdot\overline{0} = 0 + 2 + 0 = 2 \ne 0.
Portanto u não é ortogonal a e.
  1. Para v (coeficientes -1,\,2+i,\,0):
\langle v,e\rangle = (-1)\overline{i} + (2+i)\overline{1} + 0\cdot\overline{0} = (-1)(-i) + (2+i)(1) = i + 2 + i = 2+2i \ne 0.
Logo v não é ortogonal a e.
  1. Para w (coeficientes -1,\,0,\,1-3i):
\langle w,e\rangle = (-1)\overline{i} + 0\cdot\overline{1} + (1-3i)\overline{0} = (-1)(-i) + 0 + 0 = i \ne 0.
Logo w também não é ortogonal a e.
Conclusão: nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e.

Passo 9

Aplicando Gram–Schmidt à base B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} com b_{1}=1,\; b_{2}=1+t,\; b_{3}=1+t+t^{2}.
Lembre do algoritmo (forma adaptada ao nosso produto interno linear no primeiro argumento): define-se
u_{1}=b_{1},\qquad u_{2}=b_{2}-\frac{\langle b_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1},\qquad u_{3}=b_{3}-\frac{\langle b_{3},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} -\frac{\langle b_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2},
e depois normalizam-se e_{j}=u_{j}/\|u_{j}\|.
Calcule passo a passo:
  1. u_{1}=b_{1}=1. Aqui \langle u_{1},u_{1}\rangle=|1|^{2}=1, então \|u_{1}\|=1 e
e_{1} = \frac{u_{1}}{\|u_{1}\|} = 1.
  1. Para b_{2}=1+t, primeiro \langle b_{2},u_{1}\rangle. Coeficientes de b_{2} são (1,1,0) e de u_{1} são (1,0,0), então
\langle b_{2},u_{1}\rangle = 1\cdot\overline{1}+1\cdot\overline{0}+0\cdot\overline{0}=1.
Logo
u_{2} = b_{2} - 1\cdot u_{1} = (1+t)-1 = t.
Verifica-se \langle u_{2},u_{2}\rangle = |0|^{2}+|1|^{2}+|0|^{2}=1, então \|u_{2}\|=1 e
e_{2}=t.
  1. Para b_{3}=1+t+t^{2}, calcule \langle b_{3},u_{1}\rangle e \langle b_{3},u_{2}\rangle. Coeficientes de b_{3} são (1,1,1).
\langle b_{3},u_{1}\rangle = 1\cdot\overline{1}+1\cdot\overline{0}+1\cdot\overline{0}=1,
\langle b_{3},u_{2}\rangle = 1\cdot\overline{0}+1\cdot\overline{1}+1\cdot\overline{0}=1.
Como \langle u_{1},u_{1}\rangle=\langle u_{2},u_{2}\rangle=1,
u_{3} = b_{3} - 1\cdot u_{1} - 1\cdot u_{2} = (1+t+t^{2}) - 1 - t = t^{2}.
Temos \langle u_{3},u_{3}\rangle = |1|^{2}=1, então \|u_{3}\|=1 e
e_{3}=t^{2}.
Portanto o processo de Gram–Schmidt (com normalização) fornece a base ortonormal
\{\,e_{1},e_{2},e_{3}\,\} = \{\,1,\; t,\; t^{2}\,\}.

Passo 10

Descrição do círculo unitário S^{1}. Pelo que vimos, a norma de um polinômio p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} é
\|p\| = \sqrt{|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}}.
Assim o conjunto dos vetores de norma 1 é exatamente o conjunto dos polinômios cujos coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) formam um vetor em \mathbb{C}^{3} de módulo unitário. Em fórmula:
S^{1} = \left\{\, a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in P_{2}[\mathbb{C}]\;:\; |a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}=1 \,\right\}.
Isto é, S^{1} é a “esfera unitária” em \mathbb{C}^{3} vista através da identificação polinômio \leftrightarrow vetor de coeficientes.

Resposta

(a) Sim. A aplicação definida por \langle p,q\rangle=\sum_{k=0}^{2} a_{k}\overline{b_{k}} satisfaz \langle p,q\rangle=\overline{\langle q,p\rangle}, é linear no primeiro argumento, conjugado-linear no segundo e \langle p,p\rangle=\sum_{k=0}^{2}|a_{k}|^{2}\ge0 com igualdade só para o polinômio zero; portanto é um produto interno.
(b) \|u\|=\sqrt{13},\quad \|v\|=\sqrt{6},\quad \|w\|=\sqrt{11}.
(c) \langle u,e\rangle=2,\quad \langle v,e\rangle=2+2i,\quad \langle w,e\rangle=i; portanto nenhum de u,v,w é ortogonal a e.
(d) Uma base ortonormal obtida é \{1,\;t,\;t^{2}\}.
(e) S^{1}=\left\{a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in P_{2}[\mathbb{C}]:|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}=1\right\}.

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