Considere o \mathbb{C}-espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] dos polinômios de grau menor o igual a 2 com coeficientes em \mathbb{C}.
(a) Prove que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno, em que o produto interno está dado por
(b) Determine a norma dos vetores u=3 i+2 t, v=(2+i) t-t^{2} e w=1-3 i-t^{2}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e=t+i t^{2}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{1,1+t, 1+t+t^{2}\right\} para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
O enunciado dá o espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] (polinômios de grau \le 2 com coeficientes complexos) e define uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle por
O enunciado pede:
(a) provar que isso é um produto interno (ou seja, verificar as propriedades exigidas);
(b) determinar as normas de u=3i+2t,\; v=(2+i)t-t^{2},\; w=1-3i-t^{2};
(c) verificar quais de u,v,w são ortogonais ao vetor e=t+i t^{2};
(d) aplicar o processo de Gram–Schmidt à base B=\{1,\,1+t,\,1+t+t^{2}\} e obter uma base ortonormal;
(e) descrever o círculo unitário S^{1}=\{v\in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\}.
Informações úteis extraídas do enunciado que serão usadas nas contas:
Um polinômio p\in P_{2}[\mathbb{C}] é identificado pelos coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2})\in\mathbb{C}^{3}.
A aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle soma produtos de coeficiente de p vezes conjugado do coeficiente de q.
Passo 2
O que é preciso verificar para mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno (definição para espaços complexos):
Conjugate-simetria: para todos p,q deve valer \langle p,q\rangle=\overline{\langle q,p\rangle}.
Linearidade no primeiro argumento: para todos \alpha,\beta\in\mathbb{C} e p,r,q\in P_{2}[\mathbb{C}],
Verificação da linearidade no primeiro argumento. Tome \alpha,\beta\in\mathbb{C} e p,r,q\in P_{2}[\mathbb{C}] com coeficientes p:(a_{0},a_{1},a_{2}), r:(c_{0},c_{1},c_{2}), q:(b_{0},b_{1},b_{2}). Então \alpha p+\beta r tem coeficientes (\alpha a_{0}+\beta c_{0},\;\alpha a_{1}+\beta c_{1},\;\alpha a_{2}+\beta c_{2}). Assim
Verificação da conjugado-linearidade no segundo argumento. Seja \alpha\in\mathbb{C} e q como antes. Então \alpha q tem coeficientes (\alpha b_{0},\alpha b_{1},\alpha b_{2}). Pela definição,
Se \langle p,p\rangle=0 então |a_{2}|^{2}=|a_{1}|^{2}=|a_{0}|^{2}=0, isto é, a_{0}=a_{1}=a_{2}=0, logo p é o polinômio zero. Assim a positividade é definida estrita. Com isso mostramos todas as propriedades e concluímos que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}].
Passo 7
Cálculo das normas de u,v,w. Lembre que \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle} e que \langle p,p\rangle é a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes.
Ortogonalidade com e=t+i t^{2}. Primeiro extraio coeficientes de e: b_{2}=i,\; b_{1}=1,\; b_{0}=0.
Para verificar ortogonalidade calculo \langle x,e\rangle para x\in\{u,v,w\}; x é ortogonal a e exatamente quando esse produto for 0.
Assim o conjunto dos vetores de norma 1 é exatamente o conjunto dos polinômios cujos coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) formam um vetor em \mathbb{C}^{3} de módulo unitário. Em fórmula:
Isto é, S^{1} é a “esfera unitária” em \mathbb{C}^{3} vista através da identificação polinômio \leftrightarrow vetor de coeficientes.
Resposta
(a) Sim. A aplicação definida por \langle p,q\rangle=\sum_{k=0}^{2} a_{k}\overline{b_{k}} satisfaz \langle p,q\rangle=\overline{\langle q,p\rangle}, é linear no primeiro argumento, conjugado-linear no segundo e \langle p,p\rangle=\sum_{k=0}^{2}|a_{k}|^{2}\ge0 com igualdade só para o polinômio zero; portanto é um produto interno.
(b) \|u\|=\sqrt{13},\quad \|v\|=\sqrt{6},\quad \|w\|=\sqrt{11}.
(c) \langle u,e\rangle=2,\quad \langle v,e\rangle=2+2i,\quad \langle w,e\rangle=i; portanto nenhum de u,v,w é ortogonal a e.
(d) Uma base ortonormal obtida é \{1,\;t,\;t^{2}\}.
(e) S^{1}=\left\{a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in P_{2}[\mathbb{C}]:|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}=1\right\}.