Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] dos polinômios de grau menor o igual a 2 com coeficientes em \mathbb{C}.
(a) Prove que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno, em que o produto interno está dado por
\left\langle a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}, b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right\rangle=a_{2} \overline{b_{2}}+a_{1} \overline{b_{1}}+a_{0} \overline{b_{0}}
(b) Determine a norma dos vetores u=3 i+2 t, v=(2+i) t-t^{2} e w=1-3 i-t^{2}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e=t+i t^{2}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base
B=\left\{1,1+t, 1+t+t^{2}, i, i+i t, i+i t+i t^{2}\right\}
para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
S^{1}:=\left\{v \in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\right\}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Espaço considerado: P_{2}[\mathbb{C}], o conjunto dos polinômios de grau \le 2 com coeficientes complexos. Cada vetor (polinômio) pode ser escrito como
p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0},
com a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{C}.
  • O produto interno proposto é, para dois polinômios
p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0},\qquad q(t)=b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0},
definido por
\left\langle p,q\right\rangle=a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}.
O enunciado pede, em partes:
(a) provar que essa fórmula define um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}];
(b) calcular as normas dos vetores u=3i+2t, v=(2+i)t-t^{2} e w=1-3i-t^{2};
(c) verificar quais desses vetores são ortogonais ao vetor e=t+i t^{2};
(d) aplicar o processo de Gram–Schmidt à família
B=\{\,1,\;1+t,\;1+t+t^{2},\;i,\;i+i t,\;i+i t+i t^{2}\,\}
para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}];
(e) descrever o “círculo unitário”
S^{1}:=\{\,v\in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\,\}.
Agora eu começo a resolver e a ensinar passo a passo cada parte.

Passo 2

(a) Provar que é um produto interno (explicando cada propriedade).
Primeiro, lembrete prático: um produto interno num espaço vetorial sobre \mathbb{C} é uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{C} que satisfaz, para todos u,v,w\in V e \alpha\in\mathbb{C}:
  1. conjugado-simetria: \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle};
  2. linearidade no primeiro argumento (na convenção que vou usar): \langle \alpha u+v,w\rangle=\alpha\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle;
  3. conjugado-linearidade no segundo: \langle u,\alpha v\rangle=\overline{\alpha}\,\langle u,v\rangle (esta propriedade segue da conjugado-simetria mais a linearidade);
  4. positividade definida: \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}_{\ge0} e \langle v,v\rangle=0 sse v=0.
Agora verifico cada item para a fórmula dada.
  • Conjugado-simetria. Tomando p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} e q(t)=b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0},
\langle p,q\rangle = a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}.
Troco p e q:
\langle q,p\rangle = b_{2}\overline{a_{2}}+b_{1}\overline{a_{1}}+b_{0}\overline{a_{0}}.
Mas a soma à direita é exatamente o conjugado de \langle p,q\rangle. Logo
\langle q,p\rangle=\overline{\langle p,q\rangle},
ou seja, a conjugado-simetria vale.
  • Linearidade no primeiro argumento. Seja \alpha\in\mathbb{C} e r(t)=c_{2}t^{2}+c_{1}t+c_{0}. Então
\langle \alpha p+ r,\, q\rangle = (\alpha a_{2}+c_{2})\overline{b_{2}}+(\alpha a_{1}+c_{1})\overline{b_{1}}+(\alpha a_{0}+c_{0})\overline{b_{0}}
= \alpha(a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}) + (c_{2}\overline{b_{2}}+c_{1}\overline{b_{1}}+c_{0}\overline{b_{0}})
= \alpha\langle p,q\rangle+\langle r,q\rangle.
Portanto é linear no primeiro argumento.
  • Conjugado-linearidade no segundo argumento. Para \alpha\in\mathbb{C},
\langle p,\alpha q\rangle = a_{2}\overline{\alpha b_{2}}+a_{1}\overline{\alpha b_{1}}+a_{0}\overline{\alpha b_{0}} = \overline{\alpha}\,(a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}}) = \overline{\alpha}\,\langle p,q\rangle.
Isto confirma a conjugado-linearidade no segundo argumento.
  • Positividade definida. Tomando p e computando \langle p,p\rangle,
\langle p,p\rangle = |a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}\ge0.
Se \langle p,p\rangle=0 então cada termo |a_{j}|^{2}=0 e assim a_{j}=0 para j=0,1,2, ou seja, p é o polinômio zero. Recíproco óbvio. Portanto a positividade definida vale.
Conclusão do (a): a fórmula satisfaz todas as propriedades de um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}] (convenção escolhida: linearidade no primeiro argumento e conjugado-linearidade no segundo). Isso estabelece que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno dado por essa fórmula.

Passo 3

(b) Norma dos vetores. Lembrete: a norma associada é \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}=\sqrt{|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}}.
Agora escrevo cada vetor pelos seus coeficientes (a_{2},a_{1},a_{0}) e calculo.
  • Para u=3i+2t temos a_{2}=0,\;a_{1}=2,\;a_{0}=3i. Então
\langle u,u\rangle = |0|^{2}+|2|^{2}+|3i|^{2} = 0+4+9=13.
Logo
\|u\|=\sqrt{13}.
  • Para v=(2+i)t-t^{2} temos a_{2}=-1,\;a_{1}=2+i,\;a_{0}=0. Então
\langle v,v\rangle = |-1|^{2}+|2+i|^{2}+|0|^{2} = 1 + (2^{2}+1^{2}) + 0 = 1+5=6.
Logo
\|v\|=\sqrt{6}.
  • Para w=1-3i-t^{2} temos a_{2}=-1,\;a_{1}=0,\;a_{0}=1-3i. Então
\langle w,w\rangle = |-1|^{2}+|0|^{2}+|1-3i|^{2} = 1 + 0 + (1^{2}+(-3)^{2}) = 1+10=11.
Logo
\|w\|=\sqrt{11}.

Passo 4

(c) Ortogonalidade com e=t+i t^{2}. Primeiro escrevo e pelos coeficientes e\!: (a_{2}=i,\;a_{1}=1,\;a_{0}=0).
Um vetor p é ortogonal a e se \langle p,e\rangle=0. Vou calcular \langle u,e\rangle,\;\langle v,e\rangle,\;\langle w,e\rangle.
  • Para u (coeficientes 0,2,3i):
\langle u,e\rangle = 0\cdot\overline{i} + 2\cdot\overline{1} + 3i\cdot\overline{0} = 0 + 2 + 0 = 2.
Como 2\neq 0, u não é ortogonal a e.
  • Para v (coeficientes -1,\;2+i,\;0):
\langle v,e\rangle = (-1)\overline{i} + (2+i)\overline{1} + 0\cdot\overline{0} = (-1)(-i) + (2+i) = i + 2 + i = 2 + 2i.
Como 2+2i\neq0, v também não é ortogonal a e.
  • Para w (coeficientes -1,\;0,\;1-3i):
\langle w,e\rangle = (-1)\overline{i} + 0\cdot\overline{1} + (1-3i)\cdot\overline{0} = (-1)(-i) + 0 + 0 = i.
Como i\neq 0, w não é ortogonal a e.
Conclusão do (c): nenhum entre u,v,w é ortogonal a e.

Passo 5

(d) Aplicar Gram–Schmidt à família B para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
Primeiro uma observação prática: \dim_{\mathbb{C}}P_{2}[\mathbb{C}]=3. A família B tem 6 vetores, logo é uma família geradora (mas dependente) — ao aplicar Gram–Schmidt vamos extrair uma base ortonormal de dimensão 3 (três vetores ortonormais), que é o que se espera em espaço complexo de dimensão 3.
Convenção de projeção (compatível com a linearidade no primeiro argumento): a projeção de v sobre u (com u\neq0) é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Agora aplico o processo passo a passo sobre a ordem dada em B. Para facilitar uso as coordenadas na base monomial (t^{2},t,1) (mas qualquer ordem consistente serve).
  • v_{1}=1. Tomo u_{1}=v_{1}=1. Calculo norma:
\langle u_{1},u_{1}\rangle = |0|^{2}+|0|^{2}+|1|^{2}=1,
portanto o primeiro vetor ortonormal é
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=1.
  • v_{2}=1+t. Projeção sobre u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = (0)\overline{0} + (1)\overline{0} + (1)\overline{1} = 1.
Então
u_{2}=v_{2}-\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} = (1+t)-1 = t.
Calculo norma:
\langle u_{2},u_{2}\rangle = |0|^{2}+|1|^{2}+|0|^{2}=1,
logo
e_{2}=t.
  • v_{3}=1+t+t^{2}. Projeções:
\langle v_{3},u_{1}\rangle = 1,\qquad \langle v_{3},u_{2}\rangle = 1.
Portanto
u_{3}=v_{3}-1\cdot u_{1}-1\cdot u_{2} = (1+t+t^{2})-1-t = t^{2}.
Norma:
\langle u_{3},u_{3}\rangle = |1|^{2}+|0|^{2}+|0|^{2}=1,
logo
e_{3}=t^{2}.
Até aqui obtemos três vetores ortonormais e_{1}=1,\;e_{2}=t,\;e_{3}=t^{2}. Como o espaço tem dimensão 3 sobre \mathbb{C}, já temos uma base ortonormal completa — os vetores seguintes de B serão combinações lineares desses e, aplicando Gram–Schmidt sobre eles, obtem-se vetores nulos indicando dependência.
Vamos verificar rapidamente os próximos vetores para confirmar:
  • v_{4}=i. Note que i = i\cdot 1 = i\,e_{1}, isto é, é múltiplo complexo de e_{1}. Assim a projeção de v_{4} sobre o subespaço gerado por e_{1},e_{2},e_{3} recupera v_{4} inteiro, e a componente perpendicular é zero. Concretamente,
\langle v_{4},e_{1}\rangle = i,\quad \frac{\langle v_{4},e_{1}\rangle}{\langle e_{1},e_{1}\rangle}e_{1}=i\cdot 1=i,
logo a componente ortogonal u_{4}=v_{4}-\text{projeções}=0çõ.
  • Mesma coisa para v_{5}=i+i t e v_{6}=i+i t+i t^{2}: cada um é i vezes v_{2} e v_{3} correspondentes, logo linearmente dependentes dos três primeiros. Portanto não geram novos vetores ortogonais independentes.
Conclusão do (d): o processo de Gram–Schmidt sobre a família B fornece como base ortonormal (no sentido do produto interno definido) a família
\{\,1,\;t,\;t^{2}\,\},
cada um já com norma 1. Estes três vetores são ortonormais entre si e formam uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}] (como espaço sobre \mathbb{C}).

Passo 6

(e) Descrever o “círculo unitário” S^{1}.
Pelo que vimos, para p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} vale
\|p\|^{2}=\langle p,p\rangle = |a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}.
Portanto o conjunto dos vetores de norma 1 é simplesmente
S^{1}=\left\{\,a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in P_{2}[\mathbb{C}] \;\bigg|\; |a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}=1\,\right\}.
Isto é, S^{1} é a “esfera unitária” no espaço das coordenadas (a_{2},a_{1},a_{0})\cong\mathbb{C}^{3}, com a métrica Euclidiana complexa usual — ou seja, o conjunto de todas as tuplas (a_{2},a_{1},a_{0}) em \mathbb{C}^{3} de norma 1.

Resposta

(a) O formulário \left\langle a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0},\;b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right\rangle=a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}} satisfaz conjugado-simetria, linearidade no primeiro argumento, conjugado-linearidade no segundo e positividade definida; portanto é um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}].
(b) \|u\|=\sqrt{13} \
\|v\|=\sqrt{6} \
\|w\|=\sqrt{11}
(c) Nenhum entre u,v,w é ortogonal a e=t+i t^{2}.
(d) Aplicando Gram–Schmidt à família B obtemos a base ortonormal
\{\,1,\;t,\;t^{2}\,\}
de P_{2}[\mathbb{C}] (cada vetor com norma 1).
(e) S^{1}=\left\{\,a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\in P_{2}[\mathbb{C}]\;\bigg|\;|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}=1\,\right\}.

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