Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial P_{2}[\mathbb{C}] dos polinômios de grau menor o igual a 2 com coeficientes em \mathbb{C}.
(a) Prove que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno, em que o produto interno está dado por
(b) Determine a norma dos vetores u=3 i+2 t, v=(2+i) t-t^{2} e w=1-3 i-t^{2}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e=t+i t^{2}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base
B=\left\{1,1+t, 1+t+t^{2}, i, i+i t, i+i t+i t^{2}\right\}
para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
Espaço considerado: P_{2}[\mathbb{C}], o conjunto dos polinômios de grau \le 2 com coeficientes complexos. Cada vetor (polinômio) pode ser escrito como
p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0},
com a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{C}.
O produto interno proposto é, para dois polinômios
O enunciado pede, em partes:
(a) provar que essa fórmula define um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}];
(b) calcular as normas dos vetores u=3i+2t, v=(2+i)t-t^{2} e w=1-3i-t^{2};
(c) verificar quais desses vetores são ortogonais ao vetor e=t+i t^{2};
(d) aplicar o processo de Gram–Schmidt à família
para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}];
(e) descrever o “círculo unitário”
S^{1}:=\{\,v\in P_{2}[\mathbb{C}]:\|v\|=1\,\}.
Agora eu começo a resolver e a ensinar passo a passo cada parte.
Passo 2
(a) Provar que é um produto interno (explicando cada propriedade).
Primeiro, lembrete prático: um produto interno num espaço vetorial sobre \mathbb{C} é uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{C} que satisfaz, para todos u,v,w\in V e \alpha\in\mathbb{C}:
linearidade no primeiro argumento (na convenção que vou usar): \langle \alpha u+v,w\rangle=\alpha\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle;
conjugado-linearidade no segundo: \langle u,\alpha v\rangle=\overline{\alpha}\,\langle u,v\rangle (esta propriedade segue da conjugado-simetria mais a linearidade);
positividade definida: \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}_{\ge0} e \langle v,v\rangle=0 sse v=0.
Agora verifico cada item para a fórmula dada.
Conjugado-simetria. Tomando p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} e q(t)=b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0},
Se \langle p,p\rangle=0 então cada termo |a_{j}|^{2}=0 e assim a_{j}=0 para j=0,1,2, ou seja, p é o polinômio zero. Recíproco óbvio. Portanto a positividade definida vale.
Conclusão do (a): a fórmula satisfaz todas as propriedades de um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}] (convenção escolhida: linearidade no primeiro argumento e conjugado-linearidade no segundo). Isso estabelece que P_{2}[\mathbb{C}] é um espaço com produto interno dado por essa fórmula.
Passo 3
(b) Norma dos vetores. Lembrete: a norma associada é \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}=\sqrt{|a_{2}|^{2}+|a_{1}|^{2}+|a_{0}|^{2}}.
Agora escrevo cada vetor pelos seus coeficientes (a_{2},a_{1},a_{0}) e calculo.
Para u=3i+2t temos a_{2}=0,\;a_{1}=2,\;a_{0}=3i. Então
Conclusão do (c): nenhum entre u,v,w é ortogonal a e.
Passo 5
(d) Aplicar Gram–Schmidt à família B para obter uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}].
Primeiro uma observação prática: \dim_{\mathbb{C}}P_{2}[\mathbb{C}]=3. A família B tem 6 vetores, logo é uma família geradora (mas dependente) — ao aplicar Gram–Schmidt vamos extrair uma base ortonormal de dimensão 3 (três vetores ortonormais), que é o que se espera em espaço complexo de dimensão 3.
Convenção de projeção (compatível com a linearidade no primeiro argumento): a projeção de v sobre u (com u\neq0) é
Agora aplico o processo passo a passo sobre a ordem dada em B. Para facilitar uso as coordenadas na base monomial (t^{2},t,1) (mas qualquer ordem consistente serve).
Até aqui obtemos três vetores ortonormais e_{1}=1,\;e_{2}=t,\;e_{3}=t^{2}. Como o espaço tem dimensão 3 sobre \mathbb{C}, já temos uma base ortonormal completa — os vetores seguintes de B serão combinações lineares desses e, aplicando Gram–Schmidt sobre eles, obtem-se vetores nulos indicando dependência.
Vamos verificar rapidamente os próximos vetores para confirmar:
v_{4}=i. Note que i = i\cdot 1 = i\,e_{1}, isto é, é múltiplo complexo de e_{1}. Assim a projeção de v_{4} sobre o subespaço gerado por e_{1},e_{2},e_{3} recupera v_{4} inteiro, e a componente perpendicular é zero. Concretamente,
logo a componente ortogonal u_{4}=v_{4}-\text{projeções}=0çõ.
Mesma coisa para v_{5}=i+i t e v_{6}=i+i t+i t^{2}: cada um é i vezes v_{2} e v_{3} correspondentes, logo linearmente dependentes dos três primeiros. Portanto não geram novos vetores ortogonais independentes.
Conclusão do (d): o processo de Gram–Schmidt sobre a família B fornece como base ortonormal (no sentido do produto interno definido) a família
\{\,1,\;t,\;t^{2}\,\},
cada um já com norma 1. Estes três vetores são ortonormais entre si e formam uma base ortonormal de P_{2}[\mathbb{C}] (como espaço sobre \mathbb{C}).
Passo 6
(e) Descrever o “círculo unitário” S^{1}.
Pelo que vimos, para p(t)=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} vale
Isto é, S^{1} é a “esfera unitária” no espaço das coordenadas (a_{2},a_{1},a_{0})\cong\mathbb{C}^{3}, com a métrica Euclidiana complexa usual — ou seja, o conjunto de todas as tuplas (a_{2},a_{1},a_{0}) em \mathbb{C}^{3} de norma 1.
Resposta
(a) O formulário \left\langle a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0},\;b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0}\right\rangle=a_{2}\overline{b_{2}}+a_{1}\overline{b_{1}}+a_{0}\overline{b_{0}} satisfaz conjugado-simetria, linearidade no primeiro argumento, conjugado-linearidade no segundo e positividade definida; portanto é um produto interno em P_{2}[\mathbb{C}].