Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
(a) Prove que \left\langle\binom{ x_{1}}{x_{2}},\binom{y_{1}}{y_{2}}\right\rangle=4 x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}+4 x_{2} y_{2}, define um produto interno.
(b) Determine a norma dos vetores u=\binom{4}{-2}, v=\binom{-2}{7} e w=\binom{1}{-1}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e_{1}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
S^{1}:=\left\{v \in \mathbb{R}^{2}:\|v\|=1\right\}
(f) Faça o gráfico do círculo unitário S^{1}.

Passo 1

O enunciado dá o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^2 com a forma bilinear definida por
\left\langle\binom{x_{1}}{x_{2}},\binom{y_{1}}{y_{2}}\right\rangle=4x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}.
As perguntas são:
(a) Provar que essa forma define um produto interno (ou seja: é bilinear, simétrica e definida positiva).\n
(b) Calcular as normas dos vetores \displaystyle u=\binom{4}{-2},\; v=\binom{-2}{7},\; w=\binom{1}{-1}.\n
(c) Determinar quais dentre u,v,w são ortogonais a e_1=\binom{1}{0}.\n
(d) Aplicar Gram–Schmidt à base B=\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\} para obter uma base ortonormal relativa a este produto interno.\n
(e) Determinar o círculo unitário relativo a esse produto interno, isto é o conjunto
S^{1}=\{v\in\mathbb{R}^2:\|v\|=1\},
onde \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.\n
(f) Fazer o gráfico (descrição) do círculo unitário S^1.

Passo 2

(a) Verificar as propriedades que caracterizam um produto interno.\n
  1. Simetria: trocar \binom{x_1}{x_2} com \binom{y_1}{y_2} troca apenas os fatores x_i y_j por y_i x_j, e como os coeficientes correspondentes coincidem, tem-se imediatamente
\left\langle\binom{x_{1}}{x_{2}},\binom{y_{1}}{y_{2}}\right\rangle =\left\langle\binom{y_{1}}{y_{2}},\binom{x_{1}}{x_{2}}\right\rangle.
Isto prova a simetria.\n
2) Bilinearidade (linearidade em cada argumento): a expressão é uma soma de termos do tipo c\cdot x_i y_j com constantes c. Assim, para escalares \alpha e vetores u,v,w tem-se
\langle \alpha u+v, w\rangle = \alpha\langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle,
e análogo no segundo argumento. Isso segue diretamente porque cada coordenada aparece linearmente em cada fator. (Exemplo: se u=(x_1,x_2) e v=(x_1',x_2'), então as somas e multiplicações escalares distribuem-se termo a termo.)\n
3) Definida positiva: precisamos mostrar que, para x=(x_1,x_2),
\langle x,x\rangle = 4x_1^2 + 2x_1 x_2 + 4x_2^2 \ge 0
com igualdade só em x_1=x_2=0. Uma maneira direta é reescrever essa forma como soma de quadrados (com coeficientes positivos). Procuramos a,b tais que
4x_1^2+2x_1x_2+4x_2^2 = a(x_1-x_2)^2 + b(x_1+x_2)^2.
Expandindo a direita obtemos (a+b)x_1^2 + (-2a+2b)x_1x_2 + (a+b)x_2^2. Igualando coeficientes a 4,2,4 obtemos o sistema
a+b=4,\qquad -2a+2b=2.
Da segunda equação vem -a+b=1\Rightarrow b=1+a. Substituindo na primeira obtém-se 2a+1=4\Rightarrow a=\tfrac{3}{2},\\ b=\tfrac{5}{2}. Logo
\langle x,x\rangle = \tfrac{3}{2}(x_1-x_2)^2 + \tfrac{5}{2}(x_1+x_2)^2.
Cada termo é não-negativo e só podem ser ambos zero quando x_1-x_2=0 e x_1+x_2=0, que implicam x_1=x_2=0. Assim \langle x,x\rangle>0 para todo x\neq 0. Portanto a forma é definida positiva.\n
Conclusão do passo: a forma é simétrica, bilinear e definida positiva, logo é um produto interno em \mathbb{R}^2.

Passo 3

(b) Fórmula útil: para x=(x_1,x_2) vale
\langle x,x\rangle = 4x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_2^2, \qquad \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Calculemos para cada vetor.\n
  1. Para u=\binom{4}{-2} (ou seja x_1=4,x_2=-2):
\langle u,u\rangle = 4\cdot 4^2 + 2\cdot(4)(-2) + 4\cdot(-2)^2 =4\cdot16 -16 +4\cdot4 =64-16+16=64.
Portanto \|u\|=\sqrt{64}=8.\n
2) Para v=\binom{-2}{7} ( x_1=-2,x_2=7):
\langle v,v\rangle = 4\cdot(-2)^2 + 2\cdot(-2)(7) + 4\cdot7^2 =4\cdot4 -28 +4\cdot49 =16-28+196=184.
Logo \|v\|=\sqrt{184}=2\sqrt{46}.\n
3) Para w=\binom{1}{-1} ( x_1=1,x_2=-1):
\langle w,w\rangle = 4\cdot1^2 + 2\cdot(1)(-1) +4\cdot(-1)^2 =4-2+4=6.
Logo \|w\|=\sqrt{6}.

Passo 4

(c) Dois vetores são ortogonais se sua produto interno for zero. Calcule a fórmula geral com e_1=\binom{1}{0}. Para x=(x_1,x_2),
\langle x,e_1\rangle = 4x_1\cdot 1 + x_1\cdot 0 + x_2\cdot 1 + 4x_2\cdot 0 = 4x_1 + x_2.
Agora plugue cada vetor:\n
  • Para u=(4,-2): \langle u,e_1\rangle = 4\cdot 4 + (-2)=16-2=14\neq 0.\n
  • Para v=(-2,7): \langle v,e_1\rangle = 4\cdot(-2)+7=-8+7=-1\neq 0.\n
  • Para w=(1,-1): \langle w,e_1\rangle = 4\cdot 1 + (-1)=3\neq 0.\n
    Portanto nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_1.

Passo 5

(d) Processo de Gram–Schmidt aplicado à base B=\{b_1,b_2\} com b_1=\binom{1}{0},\\ b_2=\binom{1}{1}, usando o produto interno dado.\n
  1. Primeiro vetor ortogonal (mantemos b_1 como primeiro): calcule \langle b_1,b_1\rangle:
\langle b_1,b_1\rangle = 4\cdot1^2 + 2\cdot 1\cdot 0 +4\cdot 0^2 =4.
Logo \|b_1\|=2. O primeiro vetor ortonormal será
e_1'=\frac{1}{\|b_1\|}b_1=\frac{1}{2}\binom{1}{0}=\binom{\tfrac{1}{2}}{0}.\n
  1. Projetar b_2 sobre b_1. Primeiro compute \langle b_2,b_1\rangle:
\langle b_2,b_1\rangle = \langle(1,1),(1,0)\rangle = 4\cdot1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot1 +4\cdot1\cdot0 =5.
A projeção de b_2 sobre b_1 é
\operatorname{proj}_{b_1}(b_2)=\frac{\langle b_2,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}b_1=\frac{5}{4}b_1=\binom{\tfrac{5}{4}}{0}.
Então o vetor ortogonal a b_1 obtido é
u_2 = b_2 - \operatorname{proj}_{b_1}(b_2) = \binom{1}{1} - \binom{\tfrac{5}{4}}{0} = \binom{-\tfrac{1}{4}}{1}.\n
  1. Normalizar u_2: calcule \langle u_2,u_2\rangle. Com u_2=( -\tfrac{1}{4},1),
\langle u_2,u_2\rangle = 4\left(-\tfrac{1}{4}\right)^2 + 2\left(-\tfrac{1}{4}\right)(1) + 4\cdot 1^2 =4\cdot\tfrac{1}{16} -\tfrac{1}{2} +4 = \tfrac{1}{4} -\tfrac{1}{2} +4 = \tfrac{15}{4}.
Assim \|u_2\|=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\tfrac{\sqrt{15}}{2}. O segundo vetor ortonormal será
e_2'=\frac{1}{\|u_2\|}u_2 = \frac{2}{\sqrt{15}}\binom{-\tfrac{1}{4}}{1} = \binom{-\tfrac{1}{2\sqrt{15}}}{\tfrac{2}{\sqrt{15}}}.
Verificação rápida (opcional): \langle e_1',e_1'\rangle=1,\\ \langle e_2',e_2'\rangle=1,\\ \langle e_1',e_2'\rangle=0 por construção.\n
Portanto uma base ortonormal (relativa ao produto interno dado) é
\left\{\,\binom{\tfrac{1}{2}}{0},\\ \binom{-\tfrac{1}{2\sqrt{15}}}{\tfrac{2}{\sqrt{15}}}\,\right\}.

Passo 6

(e) O círculo unitário relativo a este produto interno é o conjunto de vetores x=(x_1,x_2) tais que
\|x\|=1\quad\Longleftrightarrow\quad \langle x,x\rangle = 4x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_2^2 = 1.
Essa equação define uma elipse centrada na origem. Para ver os eixos principais, observe que a matriz simétrica correspondente ao produto interno é
A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix},
cujos autovalores e autovetores são facilmente obtidos: \lambda_1=5 com autovetor (1,1), e \lambda_2=3 com autovetor (1,-1). Se escrevermos x nas coordenadas ortonormais
x = a\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{1} + b\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-1},
então
\langle x,x\rangle = 5a^2 + 3b^2.
A condição \langle x,x\rangle =1 fica
5a^2 + 3b^2 = 1.
Assim os semi-eixos principais têm comprimentos 1/\sqrt{5} (na direção (1,1)) e 1/\sqrt{3} (na direção (1,-1)). Outra forma útil de parametrizar o círculo unitário é tomar
a=\frac{\cos t}{\sqrt{5}},\qquad b=\frac{\sin t}{\sqrt{3}},\qquad t\in[0,2\pi),
e então
x(t)=\frac{\cos t}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{1}+\frac{\sin t}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-1}.
Em coordenadas x=(x,y) isto dá
x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\frac{\cos t}{\sqrt{5}}+\frac{\sin t}{\sqrt{3}}\right),\qquad y(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\frac{\cos t}{\sqrt{5}}-\frac{\sin t}{\sqrt{3}}\right).]

Passo 7

(f) Gráfico / descrição do conjunto S^1.\n
  • O conjunto S^1 é uma elipse centrada na origem dada pela equação
4x^2 + 2xy + 4y^2 = 1.\n
  • Seus eixos principais estão nas direções (1,1) e (1,-1).\n
  • O semi-eixo na direção (1,1) tem comprimento 1/\sqrt{5}\approx 0{,}447.\n
  • O semi-eixo na direção (1,-1) tem comprimento 1/\sqrt{3}\approx 0{,}577.\n
  • Para traçar no plano: desenhar a reta y=x e colocar sobre ela os pontos \pm(1/\sqrt{5})\cdot(1/\sqrt{2})(1,1); desenhar a reta y=-x e colocar sobre ela os pontos \pm(1/\sqrt{3})\cdot(1/\sqrt{2})(1,-1). A elipse passa por esses quatro pontos e tem as linhas y=\pm x como direções dos eixos.\n
  • Uma parametrização pronta para plotar é a dada no final do passo anterior, com t\in[0,2\pi).

Resposta

(a) Sim. A forma é um produto interno (simétrica, bilinear e definida positiva).
(b) \|u\|=8,\quad \|v\|=2\sqrt{46},\quad \|w\|=\sqrt{6}.
(c) Nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_{1}.
(d) Uma base ortonormal é \displaystyle \left\{\binom{\tfrac{1}{2}}{0},\;\binom{-\tfrac{1}{2\sqrt{15}}}{\tfrac{2}{\sqrt{15}}}\right\}.
(e) S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;4x^2+2xy+4y^2=1\}, equivalently em coordenadas principais 5a^2+3b^2=1 (com direções (1,1) e (1,-1)).
(f) S^{1} é uma elipse centrada na origem, com eixos principais ao longo de y=x e y=-x, semi-eixos 1/\sqrt{5} (direção (1,1)) e 1/\sqrt{3} (direção (1,-1)); parametrização dada por
x(t)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\tfrac{\cos t}{\sqrt{5}}+\tfrac{\sin t}{\sqrt{3}}\right),\quad y(t)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\!\left(\tfrac{\cos t}{\sqrt{5}}-\tfrac{\sin t}{\sqrt{3}}\right),\\ t\in[0,2\pi).

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