Considere o \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
(a) Prove que \left\langle\binom{ x_{1}}{x_{2}},\binom{y_{1}}{y_{2}}\right\rangle=4 x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}+4 x_{2} y_{2}, define um produto interno.
(b) Determine a norma dos vetores u=\binom{4}{-2}, v=\binom{-2}{7} e w=\binom{1}{-1}.
(c) Determine qual dos vetores u, v e w são ortogonais com e_{1}.
(d) Aplique o processo Gram-Schmidt à base B=\left\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\right\} para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2}.
(e) Determine o cículo unitário com respeito este produto interno, ou seja, determine o conjunto
As perguntas são:
(a) Provar que essa forma define um produto interno (ou seja: é bilinear, simétrica e definida positiva).\n
(b) Calcular as normas dos vetores \displaystyle u=\binom{4}{-2},\; v=\binom{-2}{7},\; w=\binom{1}{-1}.\n
(c) Determinar quais dentre u,v,w são ortogonais a e_1=\binom{1}{0}.\n
(d) Aplicar Gram–Schmidt à base B=\{\binom{1}{0},\binom{1}{1}\} para obter uma base ortonormal relativa a este produto interno.\n
(e) Determinar o círculo unitário relativo a esse produto interno, isto é o conjunto
S^{1}=\{v\in\mathbb{R}^2:\|v\|=1\},
onde \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.\n
(f) Fazer o gráfico (descrição) do círculo unitário S^1.
Passo 2
(a) Verificar as propriedades que caracterizam um produto interno.\n
Simetria: trocar \binom{x_1}{x_2} com \binom{y_1}{y_2} troca apenas os fatores x_i y_j por y_i x_j, e como os coeficientes correspondentes coincidem, tem-se imediatamente
Isto prova a simetria.\n
2) Bilinearidade (linearidade em cada argumento): a expressão é uma soma de termos do tipo c\cdot x_i y_j com constantes c. Assim, para escalares \alpha e vetores u,v,w tem-se
e análogo no segundo argumento. Isso segue diretamente porque cada coordenada aparece linearmente em cada fator. (Exemplo: se u=(x_1,x_2) e v=(x_1',x_2'), então as somas e multiplicações escalares distribuem-se termo a termo.)\n
3) Definida positiva: precisamos mostrar que, para x=(x_1,x_2),
Cada termo é não-negativo e só podem ser ambos zero quando x_1-x_2=0 e x_1+x_2=0, que implicam x_1=x_2=0. Assim \langle x,x\rangle>0 para todo x\neq 0. Portanto a forma é definida positiva.\n
Conclusão do passo: a forma é simétrica, bilinear e definida positiva, logo é um produto interno em \mathbb{R}^2.
Verificação rápida (opcional): \langle e_1',e_1'\rangle=1,\\ \langle e_2',e_2'\rangle=1,\\ \langle e_1',e_2'\rangle=0 por construção.\n
Portanto uma base ortonormal (relativa ao produto interno dado) é
Essa equação define uma elipse centrada na origem. Para ver os eixos principais, observe que a matriz simétrica correspondente ao produto interno é
A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix},
cujos autovalores e autovetores são facilmente obtidos: \lambda_1=5 com autovetor (1,1), e \lambda_2=3 com autovetor (1,-1). Se escrevermos x nas coordenadas ortonormais
x = a\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{1} + b\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-1},
então
\langle x,x\rangle = 5a^2 + 3b^2.
A condição \langle x,x\rangle =1 fica
5a^2 + 3b^2 = 1.
Assim os semi-eixos principais têm comprimentos 1/\sqrt{5} (na direção (1,1)) e 1/\sqrt{3} (na direção (1,-1)). Outra forma útil de parametrizar o círculo unitário é tomar
O conjunto S^1 é uma elipse centrada na origem dada pela equação
4x^2 + 2xy + 4y^2 = 1.\n
Seus eixos principais estão nas direções (1,1) e (1,-1).\n
O semi-eixo na direção (1,1) tem comprimento 1/\sqrt{5}\approx 0{,}447.\n
O semi-eixo na direção (1,-1) tem comprimento 1/\sqrt{3}\approx 0{,}577.\n
Para traçar no plano: desenhar a reta y=x e colocar sobre ela os pontos \pm(1/\sqrt{5})\cdot(1/\sqrt{2})(1,1); desenhar a reta y=-x e colocar sobre ela os pontos \pm(1/\sqrt{3})\cdot(1/\sqrt{2})(1,-1). A elipse passa por esses quatro pontos e tem as linhas y=\pm x como direções dos eixos.\n
Uma parametrização pronta para plotar é a dada no final do passo anterior, com t\in[0,2\pi).
Resposta
(a) Sim. A forma é um produto interno (simétrica, bilinear e definida positiva).
(b) \|u\|=8,\quad \|v\|=2\sqrt{46},\quad \|w\|=\sqrt{6}.
(c) Nenhum dos vetores u,v,w é ortogonal a e_{1}.
(d) Uma base ortonormal é \displaystyle \left\{\binom{\tfrac{1}{2}}{0},\;\binom{-\tfrac{1}{2\sqrt{15}}}{\tfrac{2}{\sqrt{15}}}\right\}.
(e) S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;4x^2+2xy+4y^2=1\}, equivalently em coordenadas principais 5a^2+3b^2=1 (com direções (1,1) e (1,-1)).
(f) S^{1} é uma elipse centrada na origem, com eixos principais ao longo de y=x e y=-x, semi-eixos 1/\sqrt{5} (direção (1,1)) e 1/\sqrt{3} (direção (1,-1)); parametrização dada por