Considere o espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R}) de polinômios a coeficientes reais de grau menor ou igual a 3, e considere o conjunto
S=\left\{1+t, t+t^{2}, t^{2}+t^{3}, t^{3}+1\right\}
Encontre uma base para o subespaço gerado por S e calcule sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço de P_{3}(\mathbb{R}) gerado por
S=\{\,1+t,\;t+t^{2},\;t^{2}+t^{3},\;t^{3}+1\}.
O conteúdo é álgebra linear: subespaços, combinação linear, independência e dimensão. Vamos representar cada polinômio pelos seus coeficientes no sistema canônico \{1,t,t^2,t^3\} e verificar relações de dependência.

Passo 2

Associamos a cada polinômio de S o vetor em \mathbb{R}^4:
v_1=1+t\mapsto(1,1,0,0),\quad v_2=t+t^2\mapsto(0,1,1,0),
v_3=t^2+t^3\mapsto(0,0,1,1),\quad v_4=t^3+1\mapsto(1,0,0,1).

Passo 3

Procuramos uma combinação linear não trivial entre v_1,v_2,v_3,v_4. Observamos que
(1,1,0,0)\;-\;(0,1,1,0)\;+\;(0,0,1,1) \;=\;(1,0,0,1),
ou seja,
v_1 - v_2 + v_3 = v_4.
Logo v_4 é combinação dos três primeiros, e podemos eliminar t^3+1 de um gerador mínimo.

Passo 4

Resta verificar que v_1,v_2,v_3 são independentes. A matriz cujas colunas são esses vetores é triangular superior com pivôs não nulos, portanto eles são independentes. Assim
\{v_1,v_2,v_3\} gera o subespaço e é linearmente independente.

Resposta

Uma base para o subespaço gerado por S é
\{\,1+t,\;t+t^2,\;t^2+t^3\}.
A dimensão desse subespaço é 3.

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