Considere o espaço vetorial
de polinômios a coeficientes reais de grau menor ou igual a 3, e considere o conjunto
Encontre uma base para o subespaço gerado por S e calcule sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço de
gerado por
O conteúdo é álgebra linear: subespaços, combinação linear, independência e dimensão. Vamos representar cada polinômio pelos seus coeficientes no sistema canônico
e verificar relações de dependência.
Passo 2
Associamos a cada polinômio de
o vetor em
:
Passo 3
Procuramos uma combinação linear não trivial entre
. Observamos que
ou seja,
Logo
é combinação dos três primeiros, e podemos eliminar
de um gerador mínimo.
Passo 4
Resta verificar que
são independentes. A matriz cujas colunas são esses vetores é triangular superior com pivôs não nulos, portanto eles são independentes. Assim
gera o subespaço e é linearmente independente.
Resposta
Uma base para o subespaço gerado por
é
.
A dimensão desse subespaço é .
A dimensão desse subespaço é