Seja M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 e considere os seguintes subconjuntos
U=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) / A+A^{t}=0\right\}, W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) / A^{2}=A\right\}
Mostrar que U é subespaço vetorial de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
U = \{A \in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid A + A^{t} = 0\}.
Queremos mostrar que U é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Para isso vamos verificar os três critérios clássicos de subespaço:
  1. 0\in U.
  2. U é fechado sob soma.
  3. U é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 0 satisfaz a condição de U. De fato,
0 + 0^{t} = 0 + 0 = 0,
logo 0\in U.

Passo 3

Mostramos que U é fechado sob soma. Sejam A,B\in U. Então
A + A^{t}=0 \quad\text{e}\quad B + B^{t}=0.
Considere A+B. Temos
(A+B) + (A+B)^{t} = A + B + A^{t} + B^{t} = (A + A^{t}) + (B + B^{t}) = 0 + 0 = 0.
Logo A+B\in U.

Passo 4

Mostramos que U é fechado sob multiplicação escalar. Seja A\in U e \lambda\in\mathbb{R}. Então
A + A^{t} = 0.
Considere \lambda A. Então
(\lambda A) + (\lambda A)^{t} = \lambda A + \lambda A^{t} = \lambda\,(A + A^{t}) = \lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda A\in U.

Passo 5

Como já temos 0\in U, e U é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que U é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

Mostramos que U contém o vetor zero e é fechado para soma e para multiplicação escalar. Portanto, U é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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