Seja
o espaço vetorial das matrizes reais
e considere os seguintes subconjuntos
Mostrar que
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos mostrar que
é subespaço vetorial de
. Para isso vamos verificar os três critérios clássicos de subespaço:
-
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
satisfaz a condição de
. De fato,
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
Considere
. Temos
Logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Considere
. Então
Logo
.
Passo 5
Como já temos
, e
é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Mostramos que
contém o vetor zero e é fechado para soma e para multiplicação escalar. Portanto,
é subespaço vetorial de
.