Seja M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial das matrizes reais 2 \times 2 e considere os seguintes subconjuntos
U=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) / A+A^{t}=0\right\}, W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) / A^{2}=A\right\}
Mostrar que W não é subespaço vetorial de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
W=\bigl\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\bigr\},
isto é, W é o conjunto das matrizes que são idempotentes. Vamos mostrar que W não satisfaz as condições de subespaço, em particular a quase óbvia falha de fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, para todo vetor (aqui, matriz) A\in W e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, tivermos \lambda A\in W, além de W conter a matriz nula e ser fechado sob soma. Verificamos primeiro se W contém a matriz nula e se é fechado sob soma, mas logo encontramos falha no fechamento por escalar.

Passo 3

Observação: a matriz nula
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz O^{2}=O, logo O\in W. E se pegarmos duas matrizes idempotentes capazes, às vezes sua soma também pode ser idempotente (dependendo do par), mas isso basta apenas para não descartar imediatamente a hipótese de subespaço. O ponto crucial é outro.

Passo 4

Considere a matriz identidade
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Como
I^{2} = I,
temos I\in W. Entretanto, se tomarmos o escalar \lambda = 2, então
(2I)^{2} = 4\,I \neq 2\,I,
ou seja, 2I\notin W. Isso mostra que W não é fechado pela multiplicação por escalares.

Resposta

W não é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) porque falha a condição de fechamento sob multiplicação por escalar: embora I\in W, temos 2I\notin W.

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