Sejam S_{1}=\left\{a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0} \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}-a_{2}+a_{1}=0\right\} e S_{2}=\left[t^{3}+2 t^{2}+t, t^{2}+t+1, t^{3}\right] dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}).
a) Determine a base e a dimensão de S_{1} \cap S_{2}.
b) Seja p(t)=3 t^{3}+4 t^{2}+t-2, verifique se p(t) \in S_{1} \cap S_{2}.
c) Determine um subespaço W de P_{3}(\mathbb{R}) tal que S_{1} \oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}):
1.
que é o espaço gerado por esses três polinômios (dimensão também 3).
Vamos achar a base e a dimensão de S_{1}\cap S_{2}, depois verificar se p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2 pertence a esse encontro, e por fim construir um complemento direto W de S_{1}.
Passo 2
Parametrizamos um elemento genérico de S_{2}. Seja
Da última equação \beta=-2\]. Então \(\alpha+(-2)=1\Rightarrow\alpha=3. E \alpha+\gamma=3\Rightarrow\gamma=0. Isso mostra que p está em S_{2}. Como \gamma=0, de fato p\in S_{1}\cap S_{2}.
Passo 6
Para construir um complemento direto W de S_{1} em P_{3}(\mathbb{R}), note que \dim P_{3}=4 e \dim S_{1}=3, então basta escolher W de dimensão 1 com interseção trivial. Por exemplo, tome
W = \Span\{\,t\}.
Verificamos que t\notin S_{1} porque, para t, os coeficientes são (a_{3},a_{2},a_{1},a_{0})=(0,0,1,0) e 0-0+1\neq0.
Além disso, todo polinômio genérico r(t)=a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} se decompõe unicamente como