Sejam S_{1}=\left\{a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0} \in P_{3}(\mathbb{R}) \mid a_{3}-a_{2}+a_{1}=0\right\} e S_{2}=\left[t^{3}+2 t^{2}+t, t^{2}+t+1, t^{3}\right] dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}).
a) Determine a base e a dimensão de S_{1} \cap S_{2}.
b) Seja p(t)=3 t^{3}+4 t^{2}+t-2, verifique se p(t) \in S_{1} \cap S_{2}.
c) Determine um subespaço W de P_{3}(\mathbb{R}) tal que S_{1} \oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de P_{3}(\mathbb{R}):
1.
S_{1}=\{\,a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\mid a_{3}-a_{2}+a_{1}=0\},
que é um hiperplano de dimensão 3.
2.
S_{2}=\bigl[t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1,\;t^{3}\bigr],
que é o espaço gerado por esses três polinômios (dimensão também 3).
Vamos achar a base e a dimensão de S_{1}\cap S_{2}, depois verificar se p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2 pertence a esse encontro, e por fim construir um complemento direto W de S_{1}.

Passo 2

Parametrizamos um elemento genérico de S_{2}. Seja
q(t)=\alpha\bigl(t^{3}+2t^{2}+t\bigr)+\beta\bigl(t^{2}+t+1\bigr)+\gamma\,t^{3}.
Reagrupando coeficientes,
q(t) = (\alpha+\gamma)\,t^{3} + (2\alpha+\beta)\,t^{2} + (\alpha+\beta)\,t + \beta.
Logo, em notação \;q(t)=a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}, temos
a_{3}=\alpha+\gamma,\quad a_{2}=2\alpha+\beta,\quad a_{1}=\alpha+\beta,\quad a_{0}=\beta.

Passo 3

Impondo a condição de S_{1}, que é a_{3}-a_{2}+a_{1}=0, substituímos:
(\alpha+\gamma) - (2\alpha+\beta) + (\alpha+\beta) = 0 \;\Longrightarrow\; \gamma = 0.
Portanto todo polinômio de S_{1}\cap S_{2} vem de \gamma=0, ou seja
\alpha\bigl(t^{3}+2t^{2}+t\bigr)+\beta\bigl(t^{2}+t+1\bigr),
e esses dois geradores são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que
S_{1}\cap S_{2} = \Span\bigl\{\,t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1\}\!,
logo \dim\bigl(S_{1}\cap S_{2}\bigr)=2.

Passo 5

Para verificar se p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2\) pertence a \(S_{1}\cap S_{2}\), fazemos duas checagens: 1. Em \(S_{1}\): \[a_{3}-a_{2}+a_{1}=3 - 4 + 1 = 0,
logo p\in S_{1}.
2. Em S_{2}: encontramos (\alpha,\beta,\gamma) tais que
\begin{cases} \alpha+\gamma=3,\\\\ 2\alpha+\beta=4,\\\ \alpha+\beta=1,\\\ \beta=-2\quad(\text{coeficiente constante}). \end{cases}
Da última equação \beta=-2\]. Então \(\alpha+(-2)=1\Rightarrow\alpha=3. E \alpha+\gamma=3\Rightarrow\gamma=0. Isso mostra que p está em S_{2}. Como \gamma=0, de fato p\in S_{1}\cap S_{2}.

Passo 6

Para construir um complemento direto W de S_{1} em P_{3}(\mathbb{R}), note que \dim P_{3}=4 e \dim S_{1}=3, então basta escolher W de dimensão 1 com interseção trivial. Por exemplo, tome
W = \Span\{\,t\}.
Verificamos que t\notin S_{1} porque, para t, os coeficientes são (a_{3},a_{2},a_{1},a_{0})=(0,0,1,0) e 0-0+1\neq0.
Além disso, todo polinômio genérico r(t)=a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0} se decompõe unicamente como
r(t)=\bigl(a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+(a_{1}-\lambda)t+a_{0}\bigr) + \lambda\,t,
e a condição para o primeiro parenteses pertencer a S_{1} é
a_{3}-a_{2}+(a_{1}-\lambda)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda = a_{3}-a_{2}+a_{1},
o que garante existência e unicidade. Logo
S_{1}\oplus W = P_{3}(\mathbb{R}).

Resposta

a) Uma base de S_{1}\cap S_{2} é
\{\,t^{3}+2t^{2}+t,\;t^{2}+t+1\} \quad\text{e}\quad \dim(S_{1}\cap S_{2})=2.
b) Sim, p(t)=3t^{3}+4t^{2}+t-2 pertence a S_{1}\cap S_{2}.
c) Um complemento direto é
W=\Span\{\,t\},
pois S_{1}\oplus W=P_{3}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados