Em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, explique a relação entre a adjunta de uma transformação linear T: V \rightarrow W e a sua representação matricial em bases ortonormais. Em particular, mostre que se B e B^{\prime} são bases ortonormais de V e W, respectivamente, então a matriz da adjunta \left[T^{*}\right]_{R}^{B^{\prime}} é a transposta da matriz [T]_{R^{\prime}}^{B}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno, que a matriz da adjunta de uma transformação linear é a transposta da matriz da transformação quando as bases escolhidas são ortonormais. Dados fornecidos e perguntas a responder:
  • Há um espaço vetorial V com base ortonormal B=\{v_1,\dots,v_n\}.
  • Há um espaço vetorial W com base ortonormal B'=\{w_1,\dots,w_m\}.
  • Existe uma transformação linear T: V \to W.
  • Deve-se provar que a matriz de T^{*}:W\to V relativa às bases ortonormais apropriadas é a transposta da matriz de T. Em notação clara: se A=[T]_{B'}^{B} é a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T(v_j) na base B', então a matriz de T^{*} (com colunas as coordenadas de T^{*}(w_i) na base B) é A^{T}.

Passo 2

Definição e propriedade fundamental do adjunto. Por definição, a adjunta T^{*}:W\to V é a única transformação linear que satisfaz
\langle T(v),w\rangle_{W}=\langle v,T^{*}(w)\rangle_{V}
para todo v\in V e todo w\in W. Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle_{V} e \langle\cdot,\cdot\rangle_{W} são os produtos internos em V e W. Essa igualdade é a ferramenta-chave que vamos usar para relacionar as coordenadas das imagens pelas bases ortonormais.

Passo 3

Como representar T em coordenadas. Escreve-se a ação de T sobre os vetores da base B em termos da base B':
T(v_j)=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, w_i,\qquad j=1,\dots,n.
Os escalares a_{ij} são exatamente as entradas da matriz A=[T]_{B'}^{B}: A=(a_{ij}) onde a coluna j é a coordenada de T(v_j) na base B'. Explicando: a coluna j contém os coeficientes (a_{1j},\dots,a_{mj})^{T}.

Passo 4

Usar a ortonormalidade para ligar entradas da matriz com produtos internos. Como B' é ortonormal, para quaisquer índices i,k vale \langle w_k,w_i\rangle_{W}=\delta_{ki} (delta de Kronecker). Então, para cada par (i,j),
\langle T(v_j),w_i\rangle_{W} = \Big\langle \sum_{k=1}^{m} a_{kj} w_k,\; w_i\Big\rangle_{W} = \sum_{k=1}^{m} a_{kj}\,\langle w_k,w_i\rangle_{W} = a_{ij}.
Ou seja, a entrada a_{ij} pode ser recuperada pelo produto interno \langle T(v_j),w_i\rangle_{W}. Intuição: numa base ortonormal, o produto interno com w_i extrai a coordenada na direção w_i.

Passo 5

Representar T^{*} em coordenadas e aplicar a igualdade do adjunto. Escreve-se a imagem de cada vetor da base B' pela adjunta em termos da base B:
T^{*}(w_i)=\sum_{j=1}^{n} b_{ji}\, v_j,\qquad i=1,\dots,m.
Os escalares b_{ji} são as entradas da matriz B=[T^{*}]_{B}^{B'} (a coluna i de B é a coordenada de T^{*}(w_i) na base B). Usando ortonormalidade de B obtemos, para cada par (i,j),
\langle v_j, T^{*}(w_i)\rangle_{V} = \Big\langle v_j,\; \sum_{s=1}^{n} b_{s i} v_s\Big\rangle_{V} = \sum_{s=1}^{n} b_{s i}\,\langle v_j,v_s\rangle_{V} = b_{j i}.

Passo 6

Igualar as duas expressões usando a propriedade do adjunto. Pela definição de adjunta, para todo i,j vale
\langle T(v_j),w_i\rangle_{W}=\langle v_j,T^{*}(w_i)\rangle_{V}.
Pelas contas dos passos anteriores isso dá
a_{ij}=b_{j i}.
Portanto a entrada da linha i, coluna j de A é igual à entrada da linha j, coluna i de B. Isso é precisamente a condição que diz que B é a transposta de A: B=A^{T}.

Passo 7

Interpretação matricial e conclusão prática. Em termos de matrizes:
[T]_{B'}^{B}=A \qquad\text{e}\qquad [T^{*}]_{B}^{B'}=A^{T}.
Ou seja, com bases ortonormais B em V e B' em W, a matriz da adjunta T^{*} (da direita para a esquerda, W\to V) é a transposta da matriz de T (de V para W). Essa propriedade é muito útil em provas e em cálculos práticos: em bases ortonormais o adjunto corresponde, na linguagem matricial, à transposição.

Resposta

\left[T^{*}\right]_{B}^{B'}=\left([T]_{B'}^{B}\right)^{T}

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