Em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, explique a relação entre a adjunta de uma transformação linear
e a sua representação matricial em bases ortonormais. Em particular, mostre que se
e
são bases ortonormais de
e
, respectivamente, então a matriz da adjunta
é a transposta da matriz
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno, que a matriz da adjunta de uma transformação linear é a transposta da matriz da transformação quando as bases escolhidas são ortonormais. Dados fornecidos e perguntas a responder:
- Há um espaço vetorial
com base ortonormal . - Há um espaço vetorial
com base ortonormal . - Existe uma transformação linear
. - Deve-se provar que a matriz de
relativa às bases ortonormais apropriadas é a transposta da matriz de . Em notação clara: se é a matriz de cujas colunas são as coordenadas de na base , então a matriz de (com colunas as coordenadas de na base ) é .
Passo 2
Definição e propriedade fundamental do adjunto. Por definição, a adjunta
é a única transformação linear que satisfaz
para todo
e todo
. Aqui
e
são os produtos internos em
e
. Essa igualdade é a ferramenta-chave que vamos usar para relacionar as coordenadas das imagens pelas bases ortonormais.
Passo 3
Como representar
em coordenadas. Escreve-se a ação de
sobre os vetores da base
em termos da base
:
Os escalares
são exatamente as entradas da matriz
:
onde a coluna
é a coordenada de
na base
. Explicando: a coluna
contém os coeficientes
.
Passo 4
Usar a ortonormalidade para ligar entradas da matriz com produtos internos. Como
é ortonormal, para quaisquer índices
vale
(delta de Kronecker). Então, para cada par
,
Ou seja, a entrada
pode ser recuperada pelo produto interno
. Intuição: numa base ortonormal, o produto interno com
extrai a coordenada na direção
.
Passo 5
Representar
em coordenadas e aplicar a igualdade do adjunto. Escreve-se a imagem de cada vetor da base
pela adjunta em termos da base
:
Os escalares
são as entradas da matriz
(a coluna
de
é a coordenada de
na base
). Usando ortonormalidade de
obtemos, para cada par
,
Passo 6
Igualar as duas expressões usando a propriedade do adjunto. Pela definição de adjunta, para todo
vale
Pelas contas dos passos anteriores isso dá
Portanto a entrada da linha
, coluna
de
é igual à entrada da linha
, coluna
de
. Isso é precisamente a condição que diz que
é a transposta de
:
.
Passo 7
Interpretação matricial e conclusão prática. Em termos de matrizes:
Ou seja, com bases ortonormais
em
e
em
, a matriz da adjunta
(da direita para a esquerda,
) é a transposta da matriz de
(de
para
). Essa propriedade é muito útil em provas e em cálculos práticos: em bases ortonormais o adjunto corresponde, na linguagem matricial, à transposição.