Considere o espaço vetorial
com as operações usuais e os conjuntos
e
. Descreva qual subconjunto do plano representa a reunião
e qual representa a interseção
e
são subespaços?
é subespaço?
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
com operações usuais e os dois conjuntos
-
, -
.
As perguntas que devemos responder são:
- Descrever geometricamente qual subconjunto do plano representa a reunião
. - Descrever geometricamente qual subconjunto do plano representa a interseção
. - Verificar se
e são subespaços de . - Verificar se
é subespaço de .
Passo 2
Descrever
geometricamente e entender suas propriedades (passo-a-passo).
- Um ponto genérico de
tem forma . Isso significa que as coordenadas são iguais, ou seja, . - Geometricamente,
é a reta diagonal que passa pela origem com inclinação : a reta .
Agora vamos mostrar por queé subespaço (a definição e verificação virão em detalhes nos próximos passos).
Passo 3
Descrever
geometricamente e entender suas propriedades (passo-a-passo).
- Escrevendo
como , vemos que os pontos têm a coordenada sempre zero. - Geometricamente,
é o eixo (a reta vertical ) passando pela origem.
Também veremos em detalhes por queé subespaço.
Passo 4
Calcular explicitamente a interseção
.
- Um ponto
pertence a se e só se pertence a e a simultaneamente. - Pertencer a
dá a condição . - Pertencer a
dá a condição . - Juntando as duas condições obtemos
e . Logo o único ponto comum é .
Portanto
Passo 5
Descrever a reunião
geometricamente.
- Por definição,
contém todos os pontos que estão em ou em . - Geometricamente isso é a união da reta diagonal
com a reta vertical (o eixo ). - Essas duas retas se cruzam na origem
, que já encontramos como interseção.
Assimé exatamente o conjunto formado por essas duas retas no plano.
Passo 6
Relembrando a definição de subespaço e o que precisamos verificar (aula rápida).
- Uma parte
é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades: -
não é vazia (equivalente: contém o vetor zero ); - Fechamento sob soma: se
então ; - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e então .
-
- Mostrar que algo é subespaço consiste em verificar as três propriedades; para refutar que algo é subespaço basta encontrar uma delas que falhe.
Passo 7
Verificar que
é subespaço (passo-a-passo com contas).
- Não vazio:
pertence a (tomando em ), logo . - Soma: tome
e . Então
que é da forma
com
, portanto está em
.
3. Multiplicação escalar: para e
,
3. Multiplicação escalar: para
que é novamente da forma
com
, logo pertence a
.
Concluímos que satisfaz as três propriedades e, portanto,
é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 8
Verificar que
é subespaço (passo-a-passo com contas).
- Não vazio:
pertence a (tomando ), então . - Soma: tome
e . Então
que é da forma
com
, portanto está em
.
3. Multiplicação escalar: para e
,
3. Multiplicação escalar: para
que pertence a
.
Concluímos que é subespaço de
.
Concluímos que
Passo 9
Verificar se
é subespaço (mostrar falha).
- Existe um fato útil: a união de dois subespaços só é subespaço se um dos subespaços estiver contido no outro. Aqui
não está contido em (por exemplo mas porque em a primeira coordenada é zero) e não está contido em (por exemplo mas porque em as coordenadas são iguais). - Para ser bem concreto, verifiquemos fechamento sob soma e encontramos contraexemplo: tome
Então O ponto não pertence a (pois em teria que ter forma , ou seja as coordenadas iguais) e não pertence a (pois em a primeira coordenada é ). Logo . - Assim
não é fechado sob soma e portanto não é subespaço de .
Resposta
e