Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} com as operações usuais e os conjuntos G=\{(x, x) \mid x \in \mathbb{R}\} e H=\{y(0,1) \mid y \in \mathbb{R}\}. Descreva qual subconjunto do plano representa a reunião G \cup H e qual representa a interseção G \cap H . G e H são subespaços? G \cup H é subespaço?

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial \mathbb{R}^2 com operações usuais e os dois conjuntos
  • G=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\},
  • H=\{y(0,1)\mid y\in\mathbb{R}\}=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
As perguntas que devemos responder são:
  1. Descrever geometricamente qual subconjunto do plano representa a reunião G\cup H.
  2. Descrever geometricamente qual subconjunto do plano representa a interseção G\cap H.
  3. Verificar se G e H são subespaços de \mathbb{R}^2.
  4. Verificar se G\cup H é subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Descrever G geometricamente e entender suas propriedades (passo-a-passo).
  • Um ponto genérico de G tem forma (x,x). Isso significa que as coordenadas são iguais, ou seja, y=x.
  • Geometricamente, G é a reta diagonal que passa pela origem com inclinação 1: a reta \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x\}.
    Agora vamos mostrar por que G é subespaço (a definição e verificação virão em detalhes nos próximos passos).

Passo 3

Descrever H geometricamente e entender suas propriedades (passo-a-passo).
  • Escrevendo H como \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}, vemos que os pontos têm a coordenada x sempre zero.
  • Geometricamente, H é o eixo y (a reta vertical x=0) passando pela origem.
    Também veremos em detalhes por que H é subespaço.

Passo 4

Calcular explicitamente a interseção G\cap H.
  • Um ponto (a,b) pertence a G\cap H se e só se pertence a G e a H simultaneamente.
  • Pertencer a G dá a condição b=a.
  • Pertencer a H dá a condição a=0.
  • Juntando as duas condições obtemos a=0 e b=a=0. Logo o único ponto comum é (0,0).
    Portanto
G\cap H=\{(0,0)\}.

Passo 5

Descrever a reunião G\cup H geometricamente.
  • Por definição, G\cup H contém todos os pontos que estão em G ou em H.
  • Geometricamente isso é a união da reta diagonal y=x com a reta vertical x=0 (o eixo y).
  • Essas duas retas se cruzam na origem (0,0), que já encontramos como interseção.
    Assim G\cup H é exatamente o conjunto formado por essas duas retas no plano.

Passo 6

Relembrando a definição de subespaço e o que precisamos verificar (aula rápida).
  • Uma parte W\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se satisfaz três propriedades:
    1. W não é vazia (equivalente: contém o vetor zero (0,0));
    2. Fechamento sob soma: se u,v\in W então u+v\in W;
    3. Fechamento sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
  • Mostrar que algo é subespaço consiste em verificar as três propriedades; para refutar que algo é subespaço basta encontrar uma delas que falhe.

Passo 7

Verificar que G é subespaço (passo-a-passo com contas).
  1. Não vazio: (0,0)=(0,0) pertence a G (tomando x=0 em (x,x)), logo G\neq\varnothing.
  2. Soma: tome (x,x)\in G e (x',x')\in G. Então
(x,x)+(x',x')=(x+x',\,x+x'),
que é da forma (\tilde x,\tilde x) com \tilde x=x+x', portanto está em G.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R} e (x,x)\in G,
c(x,x)=(cx,\,cx),
que é novamente da forma (\tilde x,\tilde x) com \tilde x=cx, logo pertence a G.
Concluímos que G satisfaz as três propriedades e, portanto, G é subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 8

Verificar que H é subespaço (passo-a-passo com contas).
  1. Não vazio: (0,0) pertence a H (tomando y=0), então H\neq\varnothing.
  2. Soma: tome (0,y)\in H e (0,y')\in H. Então
(0,y)+(0,y')=(0,\,y+y'),
que é da forma (0,\tilde y) com \tilde y=y+y', portanto está em H.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R} e (0,y)\in H,
c(0,y)=(0,\,cy),
que pertence a H.
Concluímos que H é subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 9

Verificar se G\cup H é subespaço (mostrar falha).
  • Existe um fato útil: a união de dois subespaços só é subespaço se um dos subespaços estiver contido no outro. Aqui G não está contido em H (por exemplo (1,1)\in G mas (1,1)\notin H porque em H a primeira coordenada é zero) e H não está contido em G (por exemplo (0,1)\in H mas (0,1)\notin G porque em G as coordenadas são iguais).
  • Para ser bem concreto, verifiquemos fechamento sob soma e encontramos contraexemplo: tome u=(1,1)\in G,\qquad v=(0,1)\in H.Então u+v=(1,2).O ponto (1,2) não pertence a G (pois em G teria que ter forma (x,x), ou seja as coordenadas iguais) e não pertence a H (pois em H a primeira coordenada é 0). Logo (1,2)\notin G\cup H.
  • Assim G\cup H não é fechado sob soma e portanto não é subespaço de \mathbb{R}^2.

Resposta

G\cup H é a união da reta diagonal \{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} (reta y=x) com o eixo y \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}; geometricamente são duas retas que se cruzam em (0,0).\n
G\cap H=\{(0,0)\}.\n G e H são subespaços de \mathbb{R}^2.\n
G\cup H não é subespaço de \mathbb{R}^2.

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