Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
com as operações
e
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede para verificar se cada uma é um subespaço vetorial (ou, no caso de
, se a estrutura dada forma um espaço vetorial e se
é subespaço de
).
Informações fornecidas:
- O conjunto
, onde . - As operações em
são definidas por
e
para todoe . - O subconjunto
, que de fato é um subconjunto de (pois e ).
O que se pede:
- Verificar se
com as operações é (ou não) um espaço vetorial sobre o corpo . - Verificar se
é (ou não) um subespaço vetorial de (com as operações herdadas).
Passo 2
Breve lembrança do que é preciso checar (sem pular etapas): para ser um espaço vetorial sobre
é preciso que
-
seja um grupo abeliano (ou seja: fechado, associativo, tenha elemento neutro, todo elemento tem inverso e é comutativa); - A multiplicação por escalar
satisfaça as leis: -
(distributividade do escalar em relação à soma de vetores); -
(distributividade do corpo em relação ao escalar); -
(compatibilidade da multiplicação escalar); -
(identidade escalar);
além de fechamento de(i.e., para todo ).
Vou verificar cada item passo a passo para, e depois verifico as condições para ser subespaço (não precisa checar axiomas do espaço todo de novo: basta verificar que , que contém o elemento neutro aditivo e que é fechada por e por ).
-
Passo 3
Verificação da estrutura aditiva
.
-
Fechamento: seja
isto é . Então
.
Como produto de positivos é positivo,e . Logo . Portanto é fechado em . -
Associatividade: para
, eComo os dois resultados coincidem,é associativa (porque a multiplicação real é associativa). -
Elemento neutro aditivo: procuramos
tal que para todo . Tomando temos
.
Portantoé o elemento neutro de . -
Inverso aditivo: dado
(com ), o inverso em relação a deve ser um elemento tal que . Tomando (note que ), obtemos
.
Logo todo elemento tem inverso em. -
Comutatividade: claramente
,
pois a multiplicação emé comutativa.
Conclusão do passo:
é um grupo abeliano, com elemento neutro
e inversos
.
Passo 4
Domínio e fechamento da multiplicação escalar; comentário sobre definição de
para
.
-
Para
e define-se . Assim sempre (exponencial de número real é positivo). Portanto, para todo e ,
tem componentes positivas, logo . Assim a multiplicação escalar está bem definida e é fechada. -
Observação técnica (importante): usamos que
está definido pois . Essa é a razão de o conjunto base ser .
Passo 5
Verificação das leis de compatibilidade entre soma e multiplicação escalar.
-
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
Parae , Usando a lei exponencial(válida aqui porque ), obtemos Por outro lado,Portanto
. -
Distributividade do campo (soma de escalares) sobre vetor:
Parae , ELogo. -
Compatibilidade da multiplicação de escalares:
Para, EComo, os dois lados coincidem: . -
Identidade escalar:
Todas as leis exigidas para multiplicação escalar são satisfeitas.
Passo 6
Conclusão sobre
.
- Já verificamos que
é um grupo abeliano, que a multiplicação escalar está bem definida e fechada em , e que as quatro propriedades ligando e (as distribuições, compatibilidade e identidade) são verdadeiras. Assim com as operações dadas é um espaço vetorial sobre .
(Muito bom — essa estrutura é uma forma alternativa de ver vetores: o “zero” é
e a soma é multiplicação componente a componente.)
Passo 7
Verificação de que
é subespaço de
.
Para
ser subespaço de
basta verificar (i)
e contém o elemento neutro aditivo de
; (ii) é fechada por
; (iii) é fechada por multiplicação escalar
.
-
Não vazio e contém o neutro: o elemento neutro aditivo de
é . Como (tomando ), contém o neutro e não é vazia. -
Fechamento por
: tomemos com . Então Como, o resultado pertence a . Portanto é fechado por . -
Fechamento por
: tome e com . Então Como(potência de positivo por real é positiva), segue que . Logo é fechado por multiplicação escalar.
Como
contém o neutro e é fechado por soma e por multiplicação escalar,
é um subespaço vetorial de
.