Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\left\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}_{++}\right\}com as operações (a, b) \oplus(c, d)=(a \cdot c, b \cdot d) e r \odot(a, b)=\left(a^{r}, b^{r}\right) e \mathcal{S}=\{(1, y) \mid y>0\}.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede para verificar se cada uma é um subespaço vetorial (ou, no caso de V, se a estrutura dada forma um espaço vetorial e se \mathcal{S} é subespaço de V).
Informações fornecidas:
  • O conjunto
    \displaystyle V=\left\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}_{++}\right\}, onde \mathbb{R}_{++}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
  • As operações em V são definidas por
    \displaystyle (a,b)\oplus(c,d)=(a\cdot c,\; b\cdot d)
    e
    \displaystyle r\odot(a,b)=\bigl(a^{r},\; b^{r}\bigr)
    para todo r\in\mathbb{R} e (a,b),(c,d)\in V.
  • O subconjunto
    \displaystyle \mathcal{S}=\{(1,y)\mid y>0\}, que de fato é um subconjunto de V (pois 1>0 e y>0).
O que se pede:
  • Verificar se V com as operações \oplus,\odot é (ou não) um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
  • Verificar se \mathcal{S} é (ou não) um subespaço vetorial de V (com as operações herdadas).

Passo 2

Breve lembrança do que é preciso checar (sem pular etapas): para ser um espaço vetorial sobre \mathbb{R} é preciso que
  1. (V,\oplus) seja um grupo abeliano (ou seja: fechado, associativo, tenha elemento neutro, todo elemento tem inverso e \oplus é comutativa);
  2. A multiplicação por escalar \odot satisfaça as leis:
    • \displaystyle r\odot(u\oplus v)=r\odot u \oplus r\odot v (distributividade do escalar em relação à soma de vetores);
    • \displaystyle (r+s)\odot u = r\odot u \oplus s\odot u (distributividade do corpo em relação ao escalar);
    • \displaystyle (rs)\odot u = r\odot (s\odot u) (compatibilidade da multiplicação escalar);
    • \displaystyle 1\odot u = u (identidade escalar);
      além de fechamento de \odot (i.e., r\odot u\in V para todo r\in\mathbb{R},u\in V).
      Vou verificar cada item passo a passo para V, e depois verifico as condições para \mathcal{S} ser subespaço (não precisa checar axiomas do espaço todo de novo: basta verificar que \mathcal{S}\neq\varnothing, que contém o elemento neutro aditivo e que é fechada por \oplus e por \odot).

Passo 3

Verificação da estrutura aditiva (V,\oplus).
  • Fechamento: seja (a,b),(c,d)\in V isto é a,b,c,d>0. Então
    \displaystyle (a,b)\oplus(c,d)=(a c,\; b d).
    Como produto de positivos é positivo, ac>0 e bd>0. Logo (a c, b d)\in V. Portanto \oplus é fechado em V.
  • Associatividade: para (a,b),(c,d),(e,f)\in V,
    \bigl((a,b)\oplus(c,d)\bigr)\oplus(e,f) = (a c,\; b d)\oplus(e,f) = (a c e,\; b d f)
    e
    (a,b)\oplus\bigl((c,d)\oplus(e,f)\bigr) = (a,b)\oplus(c e,\; d f) = (a c e,\; b d f).
    Como os dois resultados coincidem, \oplus é associativa (porque a multiplicação real é associativa).
  • Elemento neutro aditivo: procuramos 0_V tal que (a,b)\oplus 0_V=(a,b) para todo (a,b). Tomando 0_V=(1,1) temos
    \displaystyle (a,b)\oplus(1,1)=(a\cdot 1,\; b\cdot 1)=(a,b).
    Portanto (1,1) é o elemento neutro de \oplus.
  • Inverso aditivo: dado (a,b)\in V (com a,b>0), o inverso em relação a \oplus deve ser um elemento w tal que (a,b)\oplus w=(1,1). Tomando w=(a^{-1}, b^{-1}) (note que a^{-1},b^{-1}>0), obtemos
    \displaystyle (a,b)\oplus(a^{-1},b^{-1})=(a a^{-1},\; b b^{-1})=(1,1).
    Logo todo elemento tem inverso em V.
  • Comutatividade: claramente
    \displaystyle (a,b)\oplus(c,d)=(a c,\; b d)=(c a,\; d b)=(c,d)\oplus(a,b),
    pois a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa.
Conclusão do passo: (V,\oplus) é um grupo abeliano, com elemento neutro (1,1) e inversos (a^{-1},b^{-1}).

Passo 4

Domínio e fechamento da multiplicação escalar; comentário sobre definição de a^{r} para r\in\mathbb{R}.
  • Para a>0 e r\in\mathbb{R} define-se a^{r}:=e^{r\ln a}. Assim a^{r}>0 sempre (exponencial de número real é positivo). Portanto, para todo r\in\mathbb{R} e (a,b)\in V,
    \displaystyle r\odot(a,b)=(a^{r},b^{r}) tem componentes positivas, logo r\odot(a,b)\in V. Assim a multiplicação escalar está bem definida e é fechada.
  • Observação técnica (importante): usamos que \ln a está definido pois a>0. Essa é a razão de o conjunto base ser \mathbb{R}_{++}.

Passo 5

Verificação das leis de compatibilidade entre soma e multiplicação escalar.
  1. Distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
    Para r\in\mathbb{R} e (a,b),(c,d)\in V,
    \begin{aligned} r\odot\bigl((a,b)\oplus(c,d)\bigr) &= r\odot(ac,\; bd)\\\ &=\bigl((ac)^{r},\; (bd)^{r}\bigr). \end{aligned}
    Usando a lei exponencial (xy)^{r}=x^{r}y^{r} (válida aqui porque x,y>0), obtemos
    \bigl((ac)^{r},(bd)^{r}\bigr)=(a^{r}c^{r},\; b^{r}d^{r}).
    Por outro lado,
    r\odot(a,b)\oplus r\odot(c,d)=(a^{r},b^{r})\oplus(c^{r},d^{r})=(a^{r}c^{r},\; b^{r}d^{r}).
    Portanto
    \displaystyle r\odot\bigl((a,b)\oplus(c,d)\bigr)=r\odot(a,b)\oplus r\odot(c,d).
  2. Distributividade do campo (soma de escalares) sobre vetor:
    Para r,s\in\mathbb{R} e (a,b)\in V,
    (r+s)\odot(a,b)=(a^{\,r+s},\; b^{\,r+s})=(a^{r}a^{s},\; b^{r}b^{s}).
    E
    r\odot(a,b)\oplus s\odot(a,b)=(a^{r},b^{r})\oplus(a^{s},b^{s})=(a^{r}a^{s},\; b^{r}b^{s}).
    Logo \displaystyle (r+s)\odot(a,b)=r\odot(a,b)\oplus s\odot(a,b).
  3. Compatibilidade da multiplicação de escalares:
    Para r,s\in\mathbb{R},
    (rs)\odot(a,b)=(a^{rs},\; b^{rs}).
    E
    r\odot\bigl(s\odot(a,b)\bigr)=r\odot(a^{s},b^{s})=\bigl((a^{s})^{r},\; (b^{s})^{r}\bigr)=(a^{sr},\; b^{sr}).
    Como rs=sr, os dois lados coincidem: \displaystyle (rs)\odot(a,b)=r\odot(s\odot(a,b)).
  4. Identidade escalar:
    1\odot(a,b)=(a^{1},b^{1})=(a,b).
Todas as leis exigidas para multiplicação escalar são satisfeitas.

Passo 6

Conclusão sobre V.
  • Já verificamos que (V,\oplus) é um grupo abeliano, que a multiplicação escalar está bem definida e fechada em V, e que as quatro propriedades ligando \oplus e \odot (as distribuições, compatibilidade e identidade) são verdadeiras. Assim V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
(Muito bom — essa estrutura é uma forma alternativa de ver vetores: o “zero” é (1,1) e a soma é multiplicação componente a componente.)

Passo 7

Verificação de que \mathcal{S}=\{(1,y)\mid y>0\} é subespaço de V.
Para \mathcal{S} ser subespaço de V basta verificar (i) \mathcal{S}\neq\varnothing e contém o elemento neutro aditivo de V; (ii) é fechada por \oplus; (iii) é fechada por multiplicação escalar \odot.
  • Não vazio e contém o neutro: o elemento neutro aditivo de V é (1,1). Como (1,1)\in\mathcal{S} (tomando y=1>0), \mathcal{S} contém o neutro e não é vazia.
  • Fechamento por \oplus: tomemos (1,y_1),(1,y_2)\in\mathcal{S} com y_1,y_2>0. Então
    (1,y_1)\oplus(1,y_2)=(1\cdot 1,\; y_1 y_2)=(1,\; y_1 y_2).
    Como y_1 y_2>0, o resultado pertence a \mathcal{S}. Portanto \mathcal{S} é fechado por \oplus.
  • Fechamento por \odot: tome r\in\mathbb{R} e (1,y)\in\mathcal{S} com y>0. Então
    r\odot(1,y)=(1^{r},\; y^{r})=(1,\; y^{r}).
    Como y^{r}>0 (potência de positivo por real é positiva), segue que r\odot(1,y)\in\mathcal{S}. Logo \mathcal{S} é fechado por multiplicação escalar.
Como \mathcal{S} contém o neutro e é fechado por soma e por multiplicação escalar, \mathcal{S} é um subespaço vetorial de V.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.\n \mathcal{S} é subespaço vetorial de V.

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