Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=\left(\mathbb{R}_{++}, \oplus, \odot\right), em que u \oplus v=u \cdot v e r \odot v=v^{r} e \mathcal{S}=\left\{2 n \mid n \in \mathbb{N}_{*}\right\}.
(Notação: \mathbb{R}_{++}=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\}.)

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Conjunto V=\bigl(\mathbb{R}_{++},\oplus,\odot\bigr) com operações definidas por
    u\oplus v = u\cdot v,\qquad r\odot v = v^{r},
    onde \mathbb{R}_{++}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}. A pergunta é: com essas operações, V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?
  • Conjunto \mathcal{S}=\{2n\mid n\in\mathbb{N}_{*}\}. Interpreto \mathcal{S} como subconjunto de \mathbb{R} com as operações usuais (adição e multiplicação por escalares). A pergunta é: \mathcal{S} é subespaço vetorial de \mathbb{R} (com as operações usuais)?

Passo 2

Relembrando rapidamente: para uma estrutura ser espaço vetorial sobre \mathbb{R} precisamos que
  • o conjunto com a “adição” forme um grupo abeliano (fechado, associativo, identidade, inversos, comutativo);
  • a multiplicação por escalar esteja bem definida e satisfaça os axiomas usuais (distributividades, compatibilidade com produto de escalares e 1 agindo como identidade).
    Vou verificar essas propriedades para V passo a passo.

Passo 3

Verificação da parte “adição” em V: a operação \oplus é a multiplicação usual entre números positivos.
  • Fechamento: se u>0 e v>0 então u\cdot v>0, logo u\oplus v\in\mathbb{R}_{++}.
  • Associatividade: multiplicação real é associativa, ou seja (u\oplus v)\oplus w=(u\cdot v)\cdot w=u\cdot(v\cdot w)=u\oplus(v\oplus w).
  • Comutatividade: u\oplus v=u\cdot v=v\cdot u=v\oplus u.
  • Elemento neutro: existe e\in\mathbb{R}_{++} tal que u\oplus e=u para todo u. Tomando e=1 temos u\oplus 1=u\cdot1=u.
  • Inverso aditivo: para cada u>0 existe u'\in\mathbb{R}_{++} com u\oplus u'=1. Tomando u'=1/u (que é >0) obtemos u\cdot(1/u)=1.
    Conclusão desta etapa: \bigl(\mathbb{R}_{++},\oplus\bigr) é um grupo abeliano com identidade 1.

Passo 4

Fechamento da multiplicação por escalares em V: para todo real r e todo v>0 definimos r\odot v=v^{r}. Como v>0 e v^{r}>0 para todo r\in\mathbb{R}, segue r\odot v\in\mathbb{R}_{++}. Portanto a multiplicação por escalares está bem definida (não “sai” do conjunto).

Passo 5

Verificação da distributividade do escalar sobre a “adição” de vetores:
  • Calcular r\odot(u\oplus v). Pela definição, r\odot(u\oplus v)=r\odot(u\cdot v)=(u\cdot v)^{r}=u^{r}\cdot v^{r}.
  • Calcular r\odot u \oplus r\odot v. Pela definição da soma, r\odot u \oplus r\odot v = u^{r}\cdot v^{r}.
Como as duas expressões coincidem, vale
r\odot(u\oplus v)=r\odot u \oplus r\odot v.

Passo 6

Verificação da distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
  • Calcular (r+s)\odot v: (r+s)\odot v = v^{\,r+s}=v^{r}\cdot v^{s}.
  • Calcular r\odot v \oplus s\odot v: r\odot v \oplus s\odot v = v^{r}\cdot v^{s}.
Portanto
(r+s)\odot v = r\odot v \oplus s\odot v.

Passo 7

Verificação da compatibilidade com produto de escalares e do elemento escalar 1:
  • Para r,s\in\mathbb{R} e v\in\mathbb{R}_{++}, (rs)\odot v = v^{rs} = (v^{s})^{r} = r\odot(s\odot v),então (rs)\odot v = r\odot(s\odot v).
  • Além disso, 1\odot v = v^{1}=v,ou seja, o escalar 1 atua como identidade.

Passo 8

Resumo para V: já mostramos que \bigl(\mathbb{R}_{++},\oplus\bigr) é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalares r\odot v=v^{r} satisfaz os axiomas de distributividade, compatibilidade e identidade escalar. Logo todas as propriedades de espaço vetorial sobre \mathbb{R} estão satisfeitas, portanto V é um espaço vetorial.
Dica intuitiva (pra fixar): a aplicação \log:\mathbb{R}_{++}\to\mathbb{R} transforma \oplus em soma usual e \odot em multiplicação por escalar usual, pois
\log(u\oplus v)=\log(u\cdot v)=\log u + \log v, \qquad \log(r\odot v)=\log(v^{r})=r\log v.
Isso mostra que V é isomorfo a \mathbb{R} como espaço vetorial — outro jeito de ver por que tudo funciona.

Passo 9

Agora trato de \mathcal{S}=\{2n\mid n\in\mathbb{N}_{*}\} como subconjunto de \mathbb{R} com as operações usuais. Para ser subespaço vetorial de \mathbb{R} (com soma usual e multiplicação por escalares reais) é preciso, no mínimo, que 0 pertença a \mathcal{S} e que \mathcal{S} seja fechado por multiplicação por escalares reais.

Passo 10

Verificação simples sobre \mathcal{S}:
  • Elemento zero: se 0\in\mathcal{S} então existe n\in\mathbb{N}_{*} tal que 2n=0. Isso não ocorre porque para n\in\mathbb{N}_{*} tem-se 2n\ge 2. Logo 0\notin\mathcal{S}. Como um subespaço vetorial deve conter o vetor zero, \mathcal{S} já falha nesse teste e não é subespaço.
  • (Opcional) Falha na multiplicação por escalares: tomar x=2\in\mathcal{S} e r=\tfrac{1}{2}. Então r\cdot x = 1\notin\mathcal{S}. Portanto \mathcal{S} não é fechada por multiplicação por escalares reais.

Passo 11

Conclusão sobre \mathcal{S}: por não conter 0 (e por não ser fechada sob multiplicação por escalares), \mathcal{S} não é subespaço vetorial de \mathbb{R}.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
\mathcal{S} não é subespaço vetorial de \mathbb{R}.

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