Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, em que
e
e
.
(Notação:
.)
(Notação:
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Conjunto
com operações definidas por onde. A pergunta é: com essas operações, é um espaço vetorial sobre ? -
Conjunto
. Interpreto como subconjunto de com as operações usuais (adição e multiplicação por escalares). A pergunta é: é subespaço vetorial de (com as operações usuais)?
Passo 2
Relembrando rapidamente: para uma estrutura ser espaço vetorial sobre
precisamos que
- o conjunto com a “adição” forme um grupo abeliano (fechado, associativo, identidade, inversos, comutativo);
- a multiplicação por escalar esteja bem definida e satisfaça os axiomas usuais (distributividades, compatibilidade com produto de escalares e
agindo como identidade).
Vou verificar essas propriedades parapasso a passo.
Passo 3
Verificação da parte “adição” em
: a operação
é a multiplicação usual entre números positivos.
- Fechamento: se
e então , logo . - Associatividade: multiplicação real é associativa, ou seja
. - Comutatividade:
. - Elemento neutro: existe
tal que para todo . Tomando temos . - Inverso aditivo: para cada
existe com . Tomando (que é ) obtemos .
Conclusão desta etapa:é um grupo abeliano com identidade .
Passo 4
Fechamento da multiplicação por escalares em
: para todo real
e todo
definimos
. Como
e
para todo
, segue
. Portanto a multiplicação por escalares está bem definida (não “sai” do conjunto).
Passo 5
Verificação da distributividade do escalar sobre a “adição” de vetores:
- Calcular
. Pela definição, - Calcular
. Pela definição da soma,
Como as duas expressões coincidem, vale
Passo 6
Verificação da distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
- Calcular
: - Calcular
:
Portanto
Passo 7
Verificação da compatibilidade com produto de escalares e do elemento escalar
:
- Para
e , então . - Além disso,
ou seja, o escalar atua como identidade.
Passo 8
Resumo para
: já mostramos que
é um grupo abeliano e que a multiplicação por escalares
satisfaz os axiomas de distributividade, compatibilidade e identidade escalar. Logo todas as propriedades de espaço vetorial sobre
estão satisfeitas, portanto
é um espaço vetorial.
Dica intuitiva (pra fixar): a aplicação
transforma
em soma usual e
em multiplicação por escalar usual, pois
Isso mostra que
é isomorfo a
como espaço vetorial — outro jeito de ver por que tudo funciona.
Passo 9
Agora trato de
como subconjunto de
com as operações usuais. Para ser subespaço vetorial de
(com soma usual e multiplicação por escalares reais) é preciso, no mínimo, que
pertença a
e que
seja fechado por multiplicação por escalares reais.
Passo 10
Verificação simples sobre
:
- Elemento zero: se
então existe tal que . Isso não ocorre porque para tem-se . Logo . Como um subespaço vetorial deve conter o vetor zero, já falha nesse teste e não é subespaço. - (Opcional) Falha na multiplicação por escalares: tomar
e . Então . Portanto não é fechada por multiplicação por escalares reais.
Passo 11
Conclusão sobre
: por não conter
(e por não ser fechada sob multiplicação por escalares),
não é subespaço vetorial de
.