Considere o espaço vetorial
com a base canônica, isto é,
usando a ideia do exercício (6), defina um produto interno para este espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos um produto interno em
munido da base canônica
onde, por exemplo,
O conteúdo necessário é saber que
é isomorfo a
pela correspondência
e então usar o produto escalar canônico em
.
Passo 2
Sejam
Em coordenadas na base canônica temos
No
usual, o produto escalar é
Passo 3
Puxando esse produto escalar para
, definimos
Em termos de traço, isso é equivalente a
Passo 4
Verificamos as propriedades de produto interno:
- Simetria:
pois a soma é comutativa. - Linearidade em cada argumento por construção a partir de somas e produto por escalar.
- Positividade definida:
e vale zero se e somente se todos
, ou seja,
é a matriz nula.
Resposta
O produto interno em
é