Considere o espaço vetorial \mathbb{M}_{2 \times 2} com a base canônica, isto é,
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
usando a ideia do exercício (6), defina um produto interno para este espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos um produto interno em \mathbb{M}_{2\times2} munido da base canônica
B=\bigl\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\bigr\},
onde, por exemplo,
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;\dots
O conteúdo necessário é saber que \mathbb{M}_{2\times2} é isomorfo a \mathbb{R}^4 pela correspondência
A=a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12}+a_{21}E_{21}+a_{22}E_{22}\;\longleftrightarrow\;(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}),
e então usar o produto escalar canônico em \mathbb{R}^4.

Passo 2

Sejam
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}.
Em coordenadas na base canônica temos
A\longleftrightarrow(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}), \quad B\longleftrightarrow(b_{11},b_{12},b_{21},b_{22}).
No \mathbb{R}^4 usual, o produto escalar é
(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\cdot(b_{11},b_{12},b_{21},b_{22}) =\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.

Passo 3

Puxando esse produto escalar para \mathbb{M}_{2\times2}, definimos
\bigl\langle A,B\bigr\rangle =\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}a_{ij}b_{ij} =a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}.
Em termos de traço, isso é equivalente a
\bigl\langle A,B\bigr\rangle =\mathrm{tr}\!\bigl(A^{T}B\bigr).

Passo 4

Verificamos as propriedades de produto interno:
  1. Simetria: \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle pois a soma é comutativa.
  2. Linearidade em cada argumento por construção a partir de somas e produto por escalar.
  3. Positividade definida:
\langle A,A\rangle =\sum_{i,j}a_{ij}^2\ge0,
e vale zero se e somente se todos a_{ij}=0, ou seja, A é a matriz nula.

Resposta

O produto interno em \mathbb{M}_{2\times2} é
\boxed{\bigl\langle A,B\bigr\rangle =\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}a_{ij}b_{ij} =\mathrm{tr}\!\bigl(A^{T}B\bigr).}

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