Seja A \subseteq \mathbb{V}. Definimos por complemento ortogonal de A (Not.: A^{\perp} ) o conjunto dos vetores ortogonais a todos os vetores de A, isto é,
A^{\perp}=\{v \in \mathbb{V} \mid\langle u, v\rangle=0, \forall u \in A\} .
Mostre que A^{\perp} é um subespaço de \mathbb{V}.

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço vetorial \mathbb{V} dotado de produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e um subconjunto A\subseteq\mathbb{V}. Define-se o complemento ortogonal de A como
A^{\perp}=\{v\in\mathbb{V}\mid\langle u,v\rangle=0\;\forall u\in A\}.
Queremos mostrar que A^{\perp} é um subespaço de \mathbb{V}. Para isso, usaremos o critério de subespaço: verificar que A^{\perp} não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, explorando a linearidade do produto interno.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero pertence a A^{\perp}. De fato, para todo u\in A vale a propriedade do produto interno
\langle u,0\rangle=0.
Logo 0\in A^{\perp}, o que garante que A^{\perp} não é vazio.

Passo 3

Mostramos a clausura sob soma. Seja v,w\in A^{\perp}. Então, para qualquer u\in A, pela linearidade em cada argumento do produto interno, temos
\langle u,\,v+w\rangle =\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle =0+0 =0.
Logo v+w\in A^{\perp}.

Passo 4

Mostramos a clausura sob multiplicação escalar. Seja v\in A^{\perp} e \alpha um escalar. Para todo u\in A, pela homogeneidade do produto interno,
\langle u,\,\alpha v\rangle =\alpha\,\langle u,v\rangle =\alpha\cdot 0 =0.
Logo \alpha v\in A^{\perp}.

Resposta

Como A^{\perp} contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que A^{\perp} é um subespaço de \mathbb{V}.

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