Seja
. Definimos por complemento ortogonal de
(Not.:
) o conjunto dos vetores ortogonais a todos os vetores de
, isto é,
Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço vetorial
dotado de produto interno
e um subconjunto
. Define-se o complemento ortogonal de
como
Queremos mostrar que
é um subespaço de
. Para isso, usaremos o critério de subespaço: verificar que
não é vazio, que é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, explorando a linearidade do produto interno.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero pertence a
. De fato, para todo
vale a propriedade do produto interno
Logo
, o que garante que
não é vazio.
Passo 3
Mostramos a clausura sob soma. Seja
. Então, para qualquer
, pela linearidade em cada argumento do produto interno, temos
Logo
.
Passo 4
Mostramos a clausura sob multiplicação escalar. Seja
e
um escalar. Para todo
, pela homogeneidade do produto interno,
Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.