Qual a posição relativa entre as retas r:(x, y, z)=(-1,2,-2)+t(1,5,3) e s:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=12+10 t \\\ z=4+6 t\end{array}\right. ?

Passo 1

O enunciado nos dá as retas
r: (x,y,z)=(-1,2,-2)+t\,(1,5,3)
e
s:\begin{cases} x=1+2t\\\ y=12+10t\\\ z=4+6t \end{cases}
e pede a posição relativa entre elas. Esse conteúdo envolve geometria analítica no espaço: vamos obter os vetores diretores, verificar se são colineares e, em caso afirmativo, checar se há um ponto em comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
\vec v_r=(1,5,3), \quad \vec v_s=(2,10,6).

Passo 3

Verificamos se \vec v_s é múltiplo escalar de \vec v_r. De fato,
\vec v_s=2\,(1,5,3)=2\,\vec v_r,
logo as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir entre paralelas distintas e coincidentes, vemos se algum ponto de s pertence a r. Tomemos t=0 em s, obtendo o ponto
P_s=(1,12,4).
Procuramos t_0 em r tal que
(-1,2,-2)+t_0\,(1,5,3)=(1,12,4).
Da primeira coordenada -1+t_0=1 vem t_0=2. Para y: 2+5\cdot2=12. Para z: -2+3\cdot2=4. Assim, P_s está em r.

Passo 5

Como os vetores diretores são colineares e há pelo menos um ponto em comum, concluímos que as retas coincidem.

Resposta

As retas são coincidentes.

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