Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v \in V tais que \|u\|=3 e \|v\|=5.
Se existirem, determine os valores de k \in \mathbb{R} de forma que os vetores u-k v e u+k v sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R} tais que os vetores
u - k\,v \quad\text{e}\quad u + k\,v
sejam ortogonais em um espaço com produto interno. Temos como dados
\|u\|=3 e \|v\|=5.

Passo 2

Do conceito de ortogonalidade, dois vetores a e b são ortogonais se e somente se
\langle a, b\rangle = 0.
Aqui queremos
\langle\,u - k\,v,\;u + k\,v\rangle = 0.

Passo 3

Expandindo o produto interno e usando linearidade e simetria,
\langle u - k v,\;u + k v\rangle = \langle u,u\rangle + k\,\langle u,v\rangle - k\,\langle v,u\rangle - k^2\,\langle v,v\rangle.
Como \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle, os termos com k se anulam, sobrando
\langle u,u\rangle - k^2\,\langle v,v\rangle = 0.

Passo 4

Substituindo \langle u,u\rangle=\|u\|^2=3^2=9 e \langle v,v\rangle=\|v\|^2=5^2=25, obtemos
9 - k^2\cdot25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = \frac{9}{25} \quad\Longrightarrow\quad k = \pm \frac{3}{5}.

Resposta

k = \tfrac{3}{5} ou k = -\tfrac{3}{5}.

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