Sejam V um espaço vetorial com produto interno e u, v \in V tais que \|u\|=3,\|v\|=4 \mathrm{e} \|u+v\|=2 \sqrt{5}. Determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço com produto interno temos vetores u e v tais que
\|u\|=3, \|v\|=4 e \|u+v\|=2\sqrt{5}.
Queremos encontrar o ângulo \theta entre u e v. Para isso vamos usar a relação entre norma e produto interno:
\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + 2\langle u,v\rangle + \|v\|^2.

Passo 2

Aplicando a fórmula com os valores dados, temos
(2\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2\langle u,v\rangle + 4^2.
Calculando os quadrados,
20 = 9 + 2\langle u,v\rangle + 16 \quad\Longrightarrow\quad 20 = 25 + 2\langle u,v\rangle.

Passo 3

Isolando o produto interno,
2\langle u,v\rangle = 20 - 25 = -5 \quad\Longrightarrow\quad \langle u,v\rangle = -\tfrac{5}{2}.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta entre u e v é dado por
\cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|} = \frac{-\tfrac{5}{2}}{3\cdot 4} = -\frac{5}{24}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{5}{24}\bigr).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{5}{24}\bigr)

Exercícios relacionados