Considere o espaço vetorial mathbbR^3. Dados os vetores u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) em mathbbR^3. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em mathbbR^3. Se não for, diga em quais condições não valem.
(a) lang<= u, vrang<==u1 v1+u3 v3.
(b) lang<= u, vrang<==7 u1 v1+u2 v2+5 u3 v3.
(c) lang<= u, vrang<==u1 v1-u2 v2+u3 v3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em R^3, se cada aplicação
lang<= u,vrang<= é um produto interno. Lembre que um produto interno deve ser
  1. bilinear;
  2. simétrico;
  3. positivo-definido, isto é,
    a) lang<= u,urang<=>=0 para todo u, e
    b) lang<= u,urang<==0 só se u=0.
    As aplicações dadas são claramente bilineares e simétricas (soma de produtos coordenada a coordenada). Resta, portanto, testar a condição de positividade-definida em cada caso.

Passo 2

Para (a) temos
lang<= u,urang<= = u1^2 + u3^2
Logo lang<= u,urang<=>=0 sempre, mas
lang<= u,urang<==0 implica apenas u1=0 e u3=0, deixando u2 livre.
Portanto há vetores não nulos (por exemplo u=(0,1,0)) com lang<= u,urang<==0.
Isto falha a definitude e não é produto interno em R^3.
Ele seria positivo-definido apenas no subespaço u:u2=0.

Passo 3

Para (b) temos
lang<= u,urang<= = 7u1^2 + u2^2 + 5u3^2
Cada coeficiente é estritamente positivo, logo lang<= u,urang<=>=0 e lang<= u,urang<==0 só se u1=u2=u3=0.
Isso satisfaz positividade-definida. Assim (b) é de fato um produto interno.

Passo 4

Para (c) temos
lang<= u,urang<= = u1^2 - u2^2 + u3^2
Aqui lang<= u,urang<= pode ficar negativo (por exemplo u=(0,1,0) -1) e também pode valer zero para vetores não nulos (por exemplo u=(1,1,0)).
Isso viola a positividade-definida, logo não é produto interno em R^3.
Se quiséssemos positividade, teríamos de impor u2=0, mas aí não estaríamos em todo R^3.

Resposta

(a) Não é produto interno, falha a positividade-definida (vetores (0,u2,0)neq0 têm lang<= u,urang<==0).
(b) É produto interno em R^3.
(c) Não é produto interno, falha a positividade-definida (ex.: lang<=(0,1,0),(0,1,0)rang<==-1<0).

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