Considere o espaço vetorial
. Dados os vetores
e
em
. Em cada item, determine se a aplicação é um produto interno em
. Se não for, diga em quais condições não valem.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em
, se cada aplicação
é um produto interno. Lembre que um produto interno deve ser
- bilinear;
- simétrico;
- positivo-definido, isto é,
a)para todo , e
b)só se .
As aplicações dadas são claramente bilineares e simétricas (soma de produtos coordenada a coordenada). Resta, portanto, testar a condição de positividade-definida em cada caso.
Passo 2
Para (a) temos
Logo
sempre, mas
implica apenas
e
, deixando
livre.
Portanto há vetores não nulos (por exemplo ) com
.
Isto falha a definitude e não é produto interno em .
Ele seria positivo-definido apenas no subespaço .
Portanto há vetores não nulos (por exemplo
Isto falha a definitude e não é produto interno em
Ele seria positivo-definido apenas no subespaço
Passo 3
Para (b) temos
Cada coeficiente é estritamente positivo, logo
e
só se
.
Isso satisfaz positividade-definida. Assim (b) é de fato um produto interno.
Isso satisfaz positividade-definida. Assim (b) é de fato um produto interno.
Passo 4
Para (c) temos
Aqui
pode ficar negativo (por exemplo
dá
) e também pode valer zero para vetores não nulos (por exemplo
).
Isso viola a positividade-definida, logo não é produto interno em .
Se quiséssemos positividade, teríamos de impor , mas aí não estaríamos em todo
.
Isso viola a positividade-definida, logo não é produto interno em
Se quiséssemos positividade, teríamos de impor
Resposta
(a) Não é produto interno, falha a positividade-definida (vetores
têm
).
(b) É produto interno em .
(c) Não é produto interno, falha a positividade-definida (ex.: ).
(b) É produto interno em
(c) Não é produto interno, falha a positividade-definida (ex.: