Seja V(R) um espaço vetorial sobre o corpo R. Suponha que dim V(R)=7.
a) Se U <= V(R) o que se pode dizer de dim U ?
b) Se beta=v1, v2, cdots, vl é uma base de V(R), qual é o valor de l ?
c) Se l=12, no item b), então beta é que tipo de conjunto?
d) Se l=3, em b), o que fazer para a partir de beta, obter uma base de V(R) ?

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V sobre R com dim V=7. Precisamos usar propriedades gerais de dimensão em subespaços, bem como a característica de cardinalidade de uma base (igual à dimensão) e os teoremas de troca e de extensão de bases.

Passo 2

(a) Se U é subespaço de V, então vale a desigualdade
0 ;<=;dim U;<=;dim V ;=;7
Ou seja, dim U pode ser qualquer inteiro de 0 a 7.

Passo 3

(b) Se beta=v1,v2,dots,vl é uma base de V, então pelo definição de dimensão
l = dim V = 7

Passo 4

(c) Se alguém afirma que l=12 numa “base” de V de dimensão 7, isso contradiz o fato de que toda base tem exatamente dim V vetores. Logo esse conjunto de 12 vetores é necessariamente linearmente dependente (é “grande demais” para ser base).

Passo 5

(d) Se tivermos só l=3 vetores em beta, eles não geram todo V. Para transformá-los em base de V, use o Teorema de Extensão de Base: escolha mais 4 vetores em V que não estejam no span de beta e adicione-os, até obter um total de 7 vetores linearmente independentes.

Resposta

a) 0 <= dim U <= 7.
b) l=7.
c) É um conjunto linearmente dependente (não pode ser base).
d) Completar beta adicionando 4 vetores de modo a obter 7 vetores independentes, formando assim uma base de V.

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