Seja
um espaço vetorial sobre o corpo
. Suponha que
.
a) Se
o que se pode dizer de
?
b) Se
é uma base de
, qual é o valor de
?
c) Se
, no item b), então
é que tipo de conjunto?
d) Se
, em b), o que fazer para a partir de
, obter uma base de
?
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
O enunciado trata de um espaço vetorial
sobre
com
. Precisamos usar propriedades gerais de dimensão em subespaços, bem como a característica de cardinalidade de uma base (igual à dimensão) e os teoremas de troca e de extensão de bases.
Passo 2
(a) Se
é subespaço de
, então vale a desigualdade
Ou seja,
pode ser qualquer inteiro de
a
.
Passo 3
(b) Se
é uma base de
, então pelo definição de dimensão
Passo 4
(c) Se alguém afirma que
numa “base” de
de dimensão
, isso contradiz o fato de que toda base tem exatamente
vetores. Logo esse conjunto de
vetores é necessariamente linearmente dependente (é “grande demais” para ser base).
Passo 5
(d) Se tivermos só
vetores em
, eles não geram todo
. Para transformá-los em base de
, use o Teorema de Extensão de Base: escolha mais
vetores em
que não estejam no span de
e adicione-os, até obter um total de
vetores linearmente independentes.
Resposta
a)
.
b) .
c) É um conjunto linearmente dependente (não pode ser base).
d) Completar adicionando
vetores de modo a obter
vetores independentes, formando assim uma base de
.
b)
c) É um conjunto linearmente dependente (não pode ser base).
d) Completar