Se V é um espaço vetorial com produto interno. Sejam u, v in V quaisquer. Mostre que valem as seguintes identidades:
(a) |u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2.
(b) lang<= u, vrang<==14|u+v|^2-14|u-v|^2.

Passo 1

O enunciado nos coloca num espaço vetorial V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma |cdot| associada, e pede duas identidades clássicas:
(a) a identidade do paralelogramo
(b) a expressão do produto interno em termos de normas.
Para isso vamos usar que
|w|^2 = lang<= w,wrang<=
e que o produto interno é bilinear e simétrico.

Passo 2

Vamos primeiro expandir em termos de lang<=cdot,cdotrang<= as normas ao quadrado de u+v e u-v.
|u+v|^2 = lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<= = lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=
|u-v|^2 = lang<= u-v,,u-vrang<= = lang<= u,urang<= - lang<= u,vrang<= - lang<= v,urang<= + lang<= v,vrang<= = lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=

Passo 3

Para (a), somamos essas duas expressões:
|u+v|^2 + |u-v|^2 = l(lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r) + l(lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r)
Os termos 2lang<= u,vrang<= se cancelam e sobram
|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2lang<= u,urang<= + 2lang<= v,vrang<= = 2|u|^2 + 2|v|^2,
que é exatamente a identidade do paralelogramo.

Passo 4

Para (b), subtraímos a mesma expansão:
|u+v|^2 - |u-v|^2 = l(lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r) - l(lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<=r)
Agora lang<= u,urang<= e lang<= v,vrang<= se cancelam, sobrando
|u+v|^2 - |u-v|^2 = 4lang<= u,vrang<=
Dividindo ambos os lados por 4 obtemos
lang<= u,vrang<= = 14|u+v|^2 - 14|u-v|^2

Resposta

(a) |u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2.
(b) lang<= u, vrang<==14|u+v|^2-14|u-v|^2.

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