Se
é um espaço vetorial com produto interno. Sejam
quaisquer. Mostre que valem as seguintes identidades:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos coloca num espaço vetorial
com produto interno
e norma
associada, e pede duas identidades clássicas:
(a) a identidade do paralelogramo
(b) a expressão do produto interno em termos de normas.
Para isso vamos usar que
(a) a identidade do paralelogramo
(b) a expressão do produto interno em termos de normas.
Para isso vamos usar que
e que o produto interno é bilinear e simétrico.
Passo 2
Vamos primeiro expandir em termos de
as normas ao quadrado de
e
.
Passo 3
Para (a), somamos essas duas expressões:
Os termos
se cancelam e sobram
que é exatamente a identidade do paralelogramo.
Passo 4
Para (b), subtraímos a mesma expansão:
Agora
e
se cancelam, sobrando
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)