Considere o sistema linear (*):rx+y-z=0 y-w=0 2 x-y+z=0
a) Mostre S(*) <= R^4.
b) Determine S(*) cap H; onde L=(x, 0,0, x) / x in R.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
(*)colon x+y-z=0, y-w=0, 2x-y+z=0
em R^4. Denotamos por S(*) o conjunto de todas as soluções de (*).
a) Preciso mostrar que S(*)) é subespaço de R^4.
b) Preciso determinar a interseção de S(*) com a reta
L=(x,0,0,x)mid xinR

Passo 2

Para ver que S(*) é subespaço de R^4, basta lembrar que o conjunto de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares é sempre subespaço. De modo mais “manual”, se u e v satisfazem Au=0 e Av=0 (aqui A é a matriz do sistema), então
A(u+v)=Au+Av=0+0=0, A(lambda u)=lambda,(Au)=lambdacdot0=0,
e o vetor nulo também satisfaz A0=0. Logo S(*) contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, ou seja, é subespaço de R^4.

Passo 3

Agora resolvemos (*) para descrever S(*) de modo explícito. Das equações:
1. x+y-z=0; Rightarrow; z = x+y.
2. y-w=0; Rightarrow; w = y.
3. 2x-y+z=0. Substituindo z=x+y, fica
2x - y + (x+y)=3x=0 Rightarrow x=0
Logo x=0, z=0+y=y, w=y. Seja então t=y. Temos
(x,y,z,w) = (0,t,t,t) = t,(0,1,1,1),
de modo que
S(*) = ,t,(0,1,1,1)mid tinR = span(0,1,1,1)

Passo 4

Para achar S(*)cap L, igualamos um vetor genérico de S(*), que é (0,t,t,t), a um vetor genérico de L, que é (s,0,0,s). Assim
(0,t,t,t) = (s,0,0,s)
implica 0=s e t=0. Portanto s=0 e t=0, ou seja, o único vetor comum é o vetor nulo.

Resposta

a) S(*) é subespaço de R^4.
b) S(*)cap L = (0,0,0,0).

Exercícios relacionados