Considere os subconjuntos L=(x, y, 0) / x, y in R e J=(0, z, 0) / z in R de R^3.
a) Mostre que L e J são subespaços de R^3.
b) Determine L+J, L cap J e verifique dim(L+J)=dim L+dim J-dim(L cap J).

Passo 1

O enunciado dá os subconjuntos
L = (x,y,0)mid x,yinR, J = (0,z,0)mid zinR
de R^3. Na parte (a) precisamos mostrar que são subespaços, e na parte (b) determinar L+J, Lcap J e verificar a identidade
dim(L+J)=dim L + dim J - dim(Lcap J)

Passo 2

Para provar que L e J são subespaços de R^3 usamos o teste padrão: conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
  1. O vetor zero (0,0,0) pertence a L (basta escolher x=y=0) e a J (basta escolher z=0).
  2. Fechamento em L: se u=(x1,y1,0) e v=(x2,y2,0) estão em L, então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;0)in L,
e para todo lambdainR
lambda u = (lambda x1,;lambda y1,;0)in L
  1. Fechamento em J: se u=(0,z1,0) e v=(0,z2,0) estão em J, então
u+v = (0,;z1+z2,;0)in J,
e
lambda u = (0,;lambda z1,;0)in J
Logo L e J são subespaços.

Passo 3

Pela definição de soma de subespaços,
L+J = ,u+v mid uin L,;vin J = (x,y,0)+(0,z,0)mid x,y,zinR
Para cada x,y,z isso dá
(x,y,0)+(0,z,0) = (x,;y+z,;0)
Como y e z variam livremente em R, o segundo componente y+z também percorre R. Logo
L+J = (x,t,0)mid x,tinR = L

Passo 4

Para a interseção, vin Lcap J se e só se
v=(x,y,0)in L e v=(0,z,0)in J
Isto obriga x=0 e y=z. Portanto
Lcap J = (0,y,0)mid yinR = J

Passo 5

As dimensões são imediatas a partir das descrições:
dim L = 2, dim J = 1, dim(Lcap J) = dim J = 1
Como L+J=L, segue dim(L+J)=dim L=2. Logo
dim(L+J) = 2 = 2 + 1 - 1 = dim L + dim J - dim(Lcap J)

Resposta

a) L e J são subespaços de R^3.
b) L+J = L, Lcap J = J, e a fórmula
dim(L+J)=dim L+dim J-dim(Lcap J) vale, pois 2=2+1-1.

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