Considere os subconjuntos
e
de
.
a) Mostre que
e
são subespaços de
.
b) Determine
e verifique
.
a) Mostre que
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá os subconjuntos
de
. Na parte (a) precisamos mostrar que são subespaços, e na parte (b) determinar
,
e verificar a identidade
Passo 2
Para provar que
e
são subespaços de
usamos o teste padrão: conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
- O vetor zero
pertence a (basta escolher ) e a (basta escolher ). - Fechamento em
: se e estão em , então
e para todo
- Fechamento em
: se e estão em , então
e
Logo
e
são subespaços.
Passo 3
Pela definição de soma de subespaços,
Para cada
isso dá
Como
e
variam livremente em
, o segundo componente
também percorre
. Logo
Passo 4
Para a interseção,
se e só se
Isto obriga
e
. Portanto
Passo 5
As dimensões são imediatas a partir das descrições:
Como
, segue
. Logo
Resposta
a)
e
são subespaços de
.
b) ,
, e a fórmula
vale, pois
.
b)