Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\left\{p(x) \in \mathcal{P}_{n} ; p(0)=p(1)\right\}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = \mathcal{P}_{n} (polinômios de grau <= n com coeficientes reais) e o subconjunto
W = \bigl\{p(x)\in\mathcal{P}_{n}\mid p(0)=p(1)\bigr\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste padrão de subespaço, que exige:
1. O polinômio zero está em W.
2. W é fechado sob soma.
3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o polinômio zero p_0(x)=0:
p_0(0)=0 \quad\text{e}\quad p_0(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad p_0(0)=p_0(1),
logo p_0\in W.

Passo 3

Sejam p,q\in W. Então
p(0)=p(1) \quad\text{e}\quad q(0)=q(1).
Para a soma p+q temos
(p+q)(0)=p(0)+q(0) \quad\text{e}\quad (p+q)(1)=p(1)+q(1),
mas como p(0)=p(1) e q(0)=q(1), conclui-se
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=p(1)+q(1)=(p+q)(1),
portanto p+q\in W.

Passo 4

Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in W. Então p(0)=p(1) e
(\alpha p)(0)=\alpha\,p(0), \quad (\alpha p)(1)=\alpha\,p(1),
logo
(\alpha p)(0)=\alpha\,p(0)=\alpha\,p(1)=(\alpha p)(1),
o que mostra \alpha p\in W.

Resposta

W é subespaço de \mathcal{P}_{n}.

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