Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
e mostre que a congruência de matrizes
é uma relação de equivalência em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: trabalhamos no espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
,
e definimos a relação de congruência
por
Para provar que
é relação de equivalência, precisamos mostrar que ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
(Reflexividade)
Para toda matriz , tomemos
, a matriz identidade. Então
Para toda matriz
logo
e
. Assim
é reflexiva.
Passo 3
(Simetria)
Suponha . Então existe invertível
tal que
Suponha
Como
é invertível,
e
também são invertíveis. Fazendo a operação inversa,
o que mostra
. Logo
é simétrica.
Passo 4
(Transitividade)
Suponha e
. Então existem invertíveis
e
tais que
Suponha
Substituindo a expressão de
em
,
Como o produto de matrizes invertíveis
é invertível, concluímos
. Assim
é transitiva.
Resposta
A relação de congruência
é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência em
.