Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n: M(n times n, R) e mostre que a congruência de matrizes approx é uma relação de equivalência em M(n times n, R).

Passo 1

Resumindo o enunciado: trabalhamos no espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n,
M(ntimes n,R),
e definimos a relação de congruência approx por
Aapprox Bse, e somente se, existe matriz invertível Pin M(ntimes n,R) tal que A = P^T B,P í
Para provar que approx é relação de equivalência, precisamos mostrar que ela é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

(Reflexividade)
Para toda matriz Ain M(ntimes n,R), tomemos P=I, a matriz identidade. Então
I^T A,I = I,A,I = A,
logo A = I^TA,I e Aapprox A. Assim approx é reflexiva.

Passo 3

(Simetria)
Suponha Aapprox B. Então existe invertível P tal que
A = P^T B P
Como P é invertível, P^-1 e l(P^Tr)^-1=(P^-1)^T também são invertíveis. Fazendo a operação inversa,
B = l(P^Tr)^-1 A P^-1 = (P^-1)^TA P^-1,
o que mostra Bapprox A. Logo approx é simétrica.

Passo 4

(Transitividade)
Suponha Aapprox B e Bapprox C. Então existem invertíveis P e Q tais que
A = P^TB,P, B = Q^TC,Q
Substituindo a expressão de B em A,
A = P^Tl(Q^TC,Qr)P = (Q,P)^TC,(Q,P)
Como o produto de matrizes invertíveis Q,P é invertível, concluímos Aapprox C. Assim approx é transitiva.

Resposta

A relação de congruência approx é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência em M(ntimes n,R).

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