Seja A=[ccc1 & -2 & 3 -2 & 1 & 0 1 & 0 & 1] e considere a forma bilinear g: R^3 times R^3 R, representada na base canônica de R^3 pela matriz A. Encontre dois vetores u, v in R^3, tais que:
g(u, v) neq g(v, u)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -2 & 3 -2 & 1 & 0 1 & 0 & 1
que representa a forma bilinear g(u,v)=u^TAv na base canônica de R^3. Queremos encontrar u,vinR^3 tais que
g(u,v)neq g(v,u)
Como uma forma bilinear é simétrica se, e somente se, A=A^T, vamos checar isso.

Passo 2

Calculemos a transposta de A:
A^T = 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1
Repare que (A)13=3 enquanto (A^T)13=(A)31=1. Logo Aneq A^T e a forma g não é simétrica.

Passo 3

Para expor essa não-simetria, escolhemos os vetores canônicos
u = (1,0,0), v = (0,0,1)

Passo 4

Vamos calcular
g(u,v) = u^T A v = A13 = 3,
e
g(v,u) = v^T A u = A31 = 1
Como 3 neq 1, temos de fato g(u,v)neq g(v,u).

Resposta

Podemos tomar
u = (1,0,0), v = (0,0,1),
pois g(u,v)=3neq1=g(v,u).

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