Seja
e considere a forma bilinear
g: R^3 times R^3 R , representada na base canônica de
R^3 pela matriz
A . Encontre dois vetores
u, v in R^3 , tais que:
g(u, v) neq g(v, u)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
que representa a forma bilinear
g(u,v)=u^TAv na base canônica de
R^3 . Queremos encontrar
u,vinR^3 tais que
Como uma forma bilinear é simétrica se, e somente se,
A=A^T , vamos checar isso.
Passo 2
Calculemos a transposta de
A :
Repare que
(A)13=3 enquanto
(A^T)13=(A)31=1 . Logo
Aneq A^T e a forma
g não é simétrica.
Passo 3
Para expor essa não-simetria, escolhemos os vetores canônicos
Passo 4
Vamos calcular
e
Como
3 neq 1 , temos de fato
g(u,v)neq g(v,u) .
Resposta
Podemos tomar
pois
g(u,v)=3neq1=g(v,u) .