Determine a forma bilinear sobre R^3, cuja matriz na base beta=(1,1,1),(1,1,0),(0,1,0) é: [f]beta= [ccc2 & 0 & 0 3 & 2 & 0 1 & 0 & -1]

Passo 1

O enunciado pede a forma bilinear
fcolon R^3timesR^3toR
cuja matriz em relação à base
beta=b1,b2,b3 com
b1=(1,1,1), b2=(1,1,0), b3=(0,1,0)
é
Mbeta=2&0&03&2&01&0&-1
Queremos encontrar a matriz M de f na base canônica e, assim, a expressão
f(x,y)=x^T M,y. Para isso usamos a mudança de base
M = S,Mbeta,S^T, onde S é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos bi na base canônica.

Passo 2

Montamos a matriz de passagem
S=l[b1;b2;b3r] = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de mudança de base
M = S,Mbeta,S^T

Passo 4

Primeiro calculamos
T = S,Mbeta =1&1&01&1&11&0&0 2&0&03&2&01&0&-1 =5&2&06&2&-12&0&0,
de onde
M = T,S^T =5&2&06&2&-12&0&0 1&1&11&1&00&1&0 = 7&7&2 7&8&2 2&2&0

Resposta

A forma bilinear é
isto é,

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