Considere o espaço vetorial Mn times n(R) de matrizes reais n times n com o produto interno definido por
lang<= A, Brang<==tr(A^T B)
onde tr(cdot) denota o traço da matriz. Mostre que este produto interno satisfaz as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade definidas para produtos internos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em Mntimes n(R) com o produto interno
lang<= A,Brang<= = trl(A^T Br),
valem as três propriedades de um produto interno real:
  1. bilinearidade em cada argumento,
  2. simetria,
  3. positividade.

Passo 2

Verificamos a bilinearidade no primeiro argumento. Se A1,A2,Bin Mntimes n(R) e cinR, então
lang<= A1 + A2,,Brang<= = trl((A1+A2)^T Br) = trl(A1^T B + A2^T Br) = tr(A1^T B)+tr(A2^T B) = lang<= A1,Brang<= + lang<= A2,Brang<=
e
lang<= c,A1,,Brang<= = trl((cA1)^T Br) = trl(c,A1^T Br) = c,tr(A1^T B) = c,lang<= A1,Brang<=
Isto mostra linearidade em A.

Passo 3

Agora a simetria. Para quaisquer A,B temos
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B) = trl((A^T B)^Tr) = tr(B^T A) = lang<= B,Arang<=
Aqui usamos que tr(X)=tr(X^T).

Passo 4

Por fim, a positividade. Para qualquer A,
lang<= A,Arang<= = tr(A^T A)
Seja A=(aij). Então A^T A tem na diagonal os termos sumk=1^n aki^2, e
tr(A^T A) = sumi=1^n sumk=1^n aki^2 >= 0
Além disso, tr(A^T A)=0 se e somente se cada aki=0, ou seja, A é a matriz nula. Logo,
lang<= A,Arang<=>0 para todo Aneq 0.

Resposta

Mostramos que lang<=cdot,cdotrang<= é bilinear, simétrica e positiva, logo é um produto interno em Mntimes n(R).

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