Considere o espaço vetorial
de matrizes reais
com o produto interno definido por
onde
denota o traço da matriz. Mostre que este produto interno satisfaz as propriedades de bilinearidade, simetria e positividade definidas para produtos internos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em
com o produto interno
valem as três propriedades de um produto interno real:
- bilinearidade em cada argumento,
- simetria,
- positividade.
Passo 2
Verificamos a bilinearidade no primeiro argumento. Se
e
, então
e
Isto mostra linearidade em
.
Passo 3
Agora a simetria. Para quaisquer
temos
Aqui usamos que
.
Passo 4
Por fim, a positividade. Para qualquer
,
Seja
. Então
tem na diagonal os termos
, e
Além disso,
se e somente se cada
, ou seja,
é a matriz nula. Logo,
para todo
.
Resposta
Mostramos que
é bilinear, simétrica e positiva, logo é um produto interno em
.