(b) (1.5 pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz
R = 1 & 1 0 & 2
e sua inversa como produto de matrizes elementares. Vamos usar o fato de que toda operação elementar sobre linhas de I2 corresponde a multiplicar I2 à esquerda por uma matriz elementar, e que o produto dessas matrizes elementares gera R.
Passo 2
Identificamos duas operações para obter R a partir de I2: 1) adicionar à linha 1 de I2 uma vez a linha 2, 2) multiplicar a linha 2 resultante por 2.
A cada operação corresponde uma matriz elementar.
Passo 3
A operação “adicionar à linha 1 uma vez a linha 2” tem matriz elementar
E1 = 1 & 1 0 & 1,
pois E1 I2 transforma ,(1,0) em (1,0)+(0,1)=(1,1) na primeira linha e deixa a segunda linha igual.
Passo 4
A operação “multiplicar a linha 2 por 2” tem matriz elementar
E2 = 1 & 0 0 & 2,
pois E2 atua sobre a segunda linha de qualquer matriz, dobrando-a, e não altera a primeira linha.
Passo 5
Compondo essas operações, de fato
E2,E1 = 1 & 0 0 & 2 1 & 1 0 & 1 = 1 & 1 0 & 2 = R
Portanto
R = E2,E1
Passo 6
Para obter R^-1 usamos que l(E2E1r)^-1=E1^-1E2^-1. As matrizes inversas das elementares são também elementares:
– E1^-1 corresponde a “subtrair da linha 1 a linha 2”, ou seja
E1^-1 = 1 & -1 0 & 1
– E2^-1 corresponde a “multiplicar a linha 2 por 1/2”, ou seja