Considere as matrizes
N=[ccc 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 7 ], R=[ll 1 & 1 0 & 2 ] an
(b) (1.5 pontos) Se possível, escreva R e sua inversa como produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
R = 1 & 1 0 & 2
e sua inversa como produto de matrizes elementares. Vamos usar o fato de que toda operação elementar sobre linhas de I2 corresponde a multiplicar I2 à esquerda por uma matriz elementar, e que o produto dessas matrizes elementares gera R.

Passo 2

Identificamos duas operações para obter R a partir de I2:
1) adicionar à linha 1 de I2 uma vez a linha 2,
2) multiplicar a linha 2 resultante por 2.
A cada operação corresponde uma matriz elementar.

Passo 3

A operação “adicionar à linha 1 uma vez a linha 2” tem matriz elementar
E1 = 1 & 1 0 & 1,
pois E1 I2 transforma
,(1,0) em (1,0)+(0,1)=(1,1) na primeira linha e deixa a segunda linha igual.

Passo 4

A operação “multiplicar a linha 2 por 2” tem matriz elementar
E2 = 1 & 0 0 & 2,
pois E2 atua sobre a segunda linha de qualquer matriz, dobrando-a, e não altera a primeira linha.

Passo 5

Compondo essas operações, de fato
E2,E1 = 1 & 0 0 & 2 1 & 1 0 & 1 = 1 & 1 0 & 2 = R
Portanto
R = E2,E1

Passo 6

Para obter R^-1 usamos que l(E2E1r)^-1=E1^-1E2^-1. As matrizes inversas das elementares são também elementares:
E1^-1 corresponde a “subtrair da linha 1 a linha 2”, ou seja
E1^-1 = 1 & -1 0 & 1
E2^-1 corresponde a “multiplicar a linha 2 por 1/2”, ou seja
E2^-1 = 1 & 0 0 & tfrac12

Passo 7

Finalmente
R^-1 = E1^-1 , E2^-1 = 1 & -1 0 & 1 1 & 0 0 & tfrac12 = 1 & -tfrac12 0 & tfrac12,
que é de fato o inverso de 1&10&2.

Resposta

R = underbrace1 & 0 0 & 2E2 ,underbrace1 & 1 0 & 1E1, R^-1 = underbrace1 & -1 0 & 1E1^-1 ,underbrace1 & 0 0 & tfrac12E2^-1

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