Seja V o espaço vetorial das funções contínuas definidas no intervalo [0,1], com o produto interno dado por
lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado pelas funções f(x)=1, g(x)=x, e h(x)=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para obter uma base ortonormal do subespaço de V gerado por
f(x)=1, g(x)=x, h(x)=x^2
onde o produto interno é
lang<= u,vrang<==integral0^1u(x),v(x),dx
O conteúdo principal é o Processo de Gram–Schmidt em espaços com produto interno para gerar vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Tomamos primeiro v1(x)=1. Sua norma é
|v1|=raizlang<= 1,1rang<==raizintegral0^11,dx=raiz1=1,
logo já está normalizado. Definimos
e1(x)=1

Passo 3

Subtraímos de v2(x)=x a projeção em e1:
u2(x)=x-lang<= x,e1rang<=,e1=x-l(integral0^1x,dxr)cdot1 =x-tfrac12
Calculamos a norma de u2:
|u2|^2=integral0^1l(x-tfrac12r)^2dx =tfrac112,
|u2|=tfrac12raiz3
Então a função normalizada é
e2(x)=u2(x)|u2| =2raiz3,l(x-tfrac12r)

Passo 4

Agora v3(x)=x^2. Removemos as componentes em e1 e e2:
u3(x)=x^2-lang<= x^2,e1rang<=,e1-lang<= x^2,e2rang<=,e2
Calculamos
lang<= x^2,e1rang<==integral0^1x^2dx=tfrac13,
lang<= x^2,e2rang<= =2raiz3integral0^1x^2l(x-tfrac12r)dx =raiz36
Fica
u3(x)=x^2-tfrac13-raiz36,2raiz3l(x-tfrac12r) =x^2-x+tfrac16
A norma de u3 é
|u3|^2=integral0^1l(x^2-x+tfrac16r)^2dx =tfrac1180,
|u3|=tfrac16raiz5
Logo a normalizada é
e3(x)=u3(x)|u3| =6raiz5,l(x^2 - x + tfrac16r)

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço gerado por 1,x,x^2 é
e1(x)=1,
e2(x)=2raiz3,l(x-tfrac12r),
e3(x)=6raiz5,l(x^2 - x + tfrac16r)

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