Seja V o espaço vetorial das funções contínuas definidas no intervalo
, com o produto interno dado por
Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado pelas funções
, e
.
Passo 1
O enunciado pede para obter uma base ortonormal do subespaço de
gerado por
onde o produto interno é
O conteúdo principal é o Processo de Gram–Schmidt em espaços com produto interno para gerar vetores ortogonais e depois normalizá-los.
Passo 2
Tomamos primeiro
. Sua norma é
logo já está normalizado. Definimos
Passo 3
Subtraímos de
a projeção em
:
Calculamos a norma de
:
Então a função normalizada é
Passo 4
Agora
. Removemos as componentes em
e
:
Calculamos
Fica
A norma de
é
Logo a normalizada é
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço gerado por
é