Dada a matriz simétrica
A=(ccc 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 )
mostre que o produto interno definido por lang<=x, yrang<==x^T Ay é válido e determine as condições para que dois vetores sejam ortogonais neste produto interno.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz simétrica
A= 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 2
e define em R^3 o produto interno
lang<= x, yrang<= = x^T A, y
Para mostrar que isso é, de fato, um produto interno, precisamos verificar simetria, bilinearidade e positividade definida. Em seguida, escreveremos a condição lang<= x, yrang<==0 que caracteriza vetores ortogonais.

Passo 2

Simetria e bilinearidade.
Como A é simétrica, A^T=A, segue
lang<= x, yrang<= = x^T A, y =( x^T A, y)^T = y^T A^T x =lang<= y, xrang<=
A bilinearidade em cada argumento decorre diretamente da propriedade do produto de matrizes e da soma de vetores em R^3.

Passo 3

Positividade definida.
Para xneq0 calcule
lang<= x, xrang<= = x^T A, x =2x1^2-2x1x2+2x2^2-2x2x3+2x3^2
Reagrupando,
2x1^2-2x1x2+2x2^2-2x2x3+2x3^2 =(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+x1^2+x3^2>0
sempre que xneq0. Alternativamente, pode‐se checar que os menores principais de A são positivos ( 2>0, 3>0, 4>0), logo A é definida‐positiva.

Passo 4

Condição de ortogonalidade.
Dois vetores x=(x1,x2,x3) e y=(y1,y2,y3) são ortogonais no produto interno se
lang<= x, yrang<= = x^T A, y =0
Expandindo,
x^T A, y =2x1y1 -x1y2 -x2y1 +2x2y2 -x2y3 -x3y2 +2x3y3
Portanto a ortogonalidade exige
2x1y1+2x2y2+2x3y3 - x1y2 - x2y1 - x2y3 - x3y2 =0

Resposta

O produto interno definido por lang<= x, yrang<== x^T A, y é válido porque A é simétrica e definida‐positiva. Dois vetores x e y são ortogonais exatamente quando
2x1y1+2x2y2+2x3y3 - x1y2 - x2y1 - x2y3 - x3y2 =0

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