Considere o espaço vetorial
, das matrizes sobre
, quadradas de ordem
. Considere o produto interno usual.
Para o subespaço:
. Determine uma base e a dimensão de
.
Para o subespaço:
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das matrizes reais
com o produto interno usual
e o subespaço
Pede-se uma base e a dimensão de
, o complementar ortogonal de
.
Passo 2
Para encontrar
buscamos todas as matrizes
tais que
para todo
, isto é, para todo
com
.
Passo 3
Escolhemos matrizes teste em
:
- Para
, tome com e todos os outros elementos nulos. Então e
logo todos os elementos off-diagonais de
são zero.
2. Para os elementos da diagonal, tome diagonal com
,
e zeros nos demais. Ainda
e
2. Para os elementos da diagonal, tome
o que dá
. De modo análogo, igualamos
.
Passo 4
Concluímos que toda
é da forma
com
. Logo
Resposta
Uma base de
é
e
.