Considere o espaço vetorial V, das matrizes sobre R, quadradas de ordem n times n. Considere o produto interno usual.
Para o subespaço: W=A in W mid tr(A)=0. Determine uma base e a dimensão de W^perp.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das matrizes reais ntimes n com o produto interno usual
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B)
e o subespaço
W = Ain V mid tr(A)=0
Pede-se uma base e a dimensão de W^perp, o complementar ortogonal de W.

Passo 2

Para encontrar W^perp buscamos todas as matrizes Bin V tais que
lang<= A,Brang<= = tr(A^T B)=0
para todo Ain W, isto é, para todo A com tr(A)=0.

Passo 3

Escolhemos matrizes teste em W:
  1. Para ineq j, tome A com Aij=1 e todos os outros elementos nulos. Então tr(A)=0 e
0=lang<= A,Brang<= = sumk,ellAkellBkell=Bij,
logo todos os elementos off-diagonais de B são zero.
2. Para os elementos da diagonal, tome A diagonal com A11=1, A22=-1 e zeros nos demais. Ainda tr(A)=0 e
0=lang<= A,Brang<= = B11-B22,
o que dá B11=B22. De modo análogo, igualamos B11=B33=cdots=Bnn.

Passo 4

Concluímos que toda Bin W^perp é da forma B=lambda In com lambdainR. Logo
W^perp = lambda In mid lambdainR

Resposta

Uma base de W^perp é In e dim W^perp=1.

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