Sejam V espaço com produto interno, W subespaço de V e u in V, em cada caso calcule projW(u)
V=C^0([0,2 pi]), W=>=rf(t), g(t), onde f(t)=cos t, g(t)=sin t, t in[0,2 pi] e u(t)=t.

Passo 1

O enunciado diz que V=C^0([0,2pi]) com o produto interno
lang<= h,krang<==integral0^2pih(t),k(t),dt,
e que W=spancos t,sin t. Queremos encontrar
projW(u) para u(t)=t.

Passo 2

Como cos t,sin t é um sistema ortogonal em V, a projeção de u em W é
projW(u)(t) = acos t + bsin t,
onde
a=lang<= u,cos trang<=lang<= cos t,cos trang<=, b=lang<= u,sin trang<=lang<= sin t,sin trang<=

Passo 3

Calculamos primeiro os produtos internos entre os vetores de base:
lang<= cos t,cos trang<= =integral0^2picos^2t,dt =pi,
lang<= sin t,sin trang<= =integral0^2pisin^2t,dt =pi,
lang<= cos t,sin trang<= =integral0^2picos t,sin t,dt =0

Passo 4

Agora lang<= u,cos trang<==integral0^2pitcos t,dt. Por partes,
integral0^2pitcos t,dt =l[tsin tr]0^2pi -integral0^2pisin t,dt =0-l[-cos tr]0^2pi =0

Passo 5

Em seguida lang<= u,sin trang<==integral0^2pitsin t,dt. Por partes,
integral0^2pitsin t,dt =l[-tcos tr]0^2pi +integral0^2picos t,dt =-2pi+0 =-2pi

Passo 6

Logo os coeficientes são
a=0pi=0, b=-2pipi=-2

Passo 7

Portanto
projW(u)(t) =0cdotcos t +(-2)sin t =-2sin t

Resposta

projW(u)(t) = -2sin t

Exercícios relacionados