Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se A é uma matriz tal que A^2=A então a matriz 2A-I é inversível e sua inversa é ela mesma

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz idempotente, ou seja, satisfaz
A^2 = A
Queremos mostrar que a matriz
B = 2A - I
é inversível e que a sua inversa é ela mesma. Vamos usar álgebra de matrizes e a propriedade de idempotência de A.

Passo 2

Defina B = 2A - I. Para verificar se B é inversível e achar sua inversa, é natural calcular B^2:
B^2 = (2A - I)(2A - I)
Usando a distributiva, obtemos
B^2 = 4A^2 - 4A + I

Passo 3

Como A é idempotente, temos A^2 = A. Substituindo em B^2, segue
B^2 = 4A - 4A + I = I
Logo
B^2 = I

Passo 4

Uma matriz B que satisfaz B^2 = I é claramente inversível, pois basta multiplicar dos dois lados por B para ver que
B,B = I Longrightarrow B^-1 = B
No nosso caso, isso mostra que
(2A - I)^-1 = 2A - I

Resposta

A afirmação é verdadeira. A prova está em observar que, se A^2 = A, então (2A - I)^2 = I, o que garante que 2A - I é inversível e que sua inversa é ela mesma.

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