Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se A é uma matriz tal que
então a matriz
é inversível e sua inversa é ela mesma
Se A é uma matriz tal que
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz idempotente, ou seja, satisfaz
Queremos mostrar que a matriz
é inversível e que a sua inversa é ela mesma. Vamos usar álgebra de matrizes e a propriedade de idempotência de
.
Passo 2
Defina
. Para verificar se
é inversível e achar sua inversa, é natural calcular
:
Usando a distributiva, obtemos
Passo 3
Como
é idempotente, temos
. Substituindo em
, segue
Logo
Passo 4
Uma matriz
que satisfaz
é claramente inversível, pois basta multiplicar dos dois lados por
para ver que
No nosso caso, isso mostra que
Resposta
A afirmação é verdadeira. A prova está em observar que, se
, então
, o que garante que
é inversível e que sua inversa é ela mesma.