Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
é uma transformação linear para qualquer
fixado.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
com
fixado, e pergunta se
é transformação linear. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear em espaços vetoriais:
-
para todo . -
para todo escalar e vetor .
Ou, de forma equivalente,e as duas propriedades acima.
Passo 2
Verificamos primeiro
. Substituindo
,
Para uma transformação ser linear, obrigatoriamente
deve ser
. Aqui vemos que
Passo 3
Portanto, salvo o caso especial em que
(isto é,
,
), já falha a condição
. Logo, para a maioria dos
,
não é linear.
Passo 4
Contra-exemplo concreto: escolha
. Então
e
Isto viola a condição necessária
para linearidade. Assim
não é transformação linear quando
.
Passo 5
Alternativamente, poderíamos checar
. Por exemplo, com
,
,
:
De novo não bate em geral.
Resposta
A afirmativa é falsa. Como contra-exemplo, tome
: então
, logo
não é linear. Apenas nos casos
(isto é,
) a aplicação satisfaz
e pode ser linear.