Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
T(x, y, z)=(x cos (theta), y seno(theta), tg theta) é uma transformação linear para qualquer theta fixado.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = l(xcos(theta),,ysin(theta),,tan(theta)r),
com theta fixado, e pergunta se T é transformação linear. O conteúdo envolvido é a definição de transformação linear em espaços vetoriais:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v.
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) para todo escalar alpha e vetor u.
    Ou, de forma equivalente, T(0)=0 e as duas propriedades acima.

Passo 2

Verificamos primeiro T(0,0,0). Substituindo (x,y,z)=(0,0,0),
T(0,0,0) = l(0cdotcos(theta),,0cdotsin(theta),,tan(theta)r) = l(0,0,tan(theta)r)
Para uma transformação ser linear, obrigatoriamente T(0,0,0) deve ser (0,0,0). Aqui vemos que
T(0,0,0) = (0,0,0)Long<=ftrightarrow tan(theta)=0

Passo 3

Portanto, salvo o caso especial em que tan(theta)=0 (isto é, theta=kpi, kinZ), já falha a condição T(0)=0. Logo, para a maioria dos theta, T não é linear.

Passo 4

Contra-exemplo concreto: escolha theta=pi/4. Então tan(pi/4)=1 e
T(0,0,0) = (0,0,1)neq(0,0,0)
Isto viola a condição necessária T(0)=0 para linearidade. Assim T não é transformação linear quando theta=pi/4.

Passo 5

Alternativamente, poderíamos checar T(u+v)neq T(u)+T(v). Por exemplo, com theta=pi/4, u=(1,0,0), v=(0,1,0):
T(u+v)=T(1,1,0) = l(cos(tfracpi4),,sin(tfracpi4),,1r),
T(u)+T(v)=l(cos(tfracpi4),0,1r)+l(0,sin(tfracpi4),1r) =l(cos(tfracpi4),sin(tfracpi4),2r)
De novo não bate em geral.

Resposta

A afirmativa é falsa. Como contra-exemplo, tome theta=pi/4: então T(0,0,0)=(0,0,1)neq(0,0,0), logo T não é linear. Apenas nos casos tan(theta)=0 (isto é, theta=kpi) a aplicação satisfaz T(0)=0 e pode ser linear.

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