Considere o espaço vetorial
das matrizes quadradas de ordem
.
(a) Mostre que
(matrizes simétricas) é um subespaço de
;
(b) Mostre que
(matrizes anti-simétricas) é um subespaço de
;
(c) Mostre que
(dica: qualquer matriz se escreve como
).
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para ver que o conjunto
das matrizes simétricas e
das matrizes antissimétricas são subespaços de
e que ainda vale
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais e decomposição em soma direta.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço.
. A matriz nula
satisfaz
, logo
.
. Se
, então
logo
.
. Para qualquer
e
,
logo
.
Isso basta para concluir que é subespaço de
.
Isso basta para concluir que
Passo 3
Mostramos que
é subespaço.
. A matriz nula
satisfaz
, logo
.
. Se
, então
logo
.
. Para qualquer
e
,
logo
.
Assim também é subespaço de
.
Assim
Passo 4
Mostramos que
.
. Todo
pode ser escrito como
Aqui
(é simétrica) e
(é antissimétrica). Logo
.
. Se
, então
e
. Isso força
, i.e.\
. Assim
.
Portanto a soma é direta.
Resposta
Mostramos que
e
são subespaços de
e que