Considere o espaço vetorial Mn(R) das matrizes quadradas de ordem n.
(a) Mostre que U=A in Mn(R): A^T=A (matrizes simétricas) é um subespaço de Mn(R);
(b) Mostre que W=A in Mn(R): A^T=-A (matrizes anti-simétricas) é um subespaço de Mn(R);
(c) Mostre que Mn(R)=U oplus W (dica: qualquer matriz se escreve como A=12(A+A^T)+12(A- A^T) ).

Passo 1

O enunciado pede para ver que o conjunto
U=Ain Mn(R):A^T=A
das matrizes simétricas e
W=Ain Mn(R):A^T=-A
das matrizes antissimétricas são subespaços de Mn(R) e que ainda vale
Mn(R)=Uoplus W
O conteúdo principal é teoria de subespaços vetoriais e decomposição em soma direta.

Passo 2

Mostramos que U é subespaço.
1. A matriz nula 0 satisfaz 0^T=0, logo 0in U.
2. Se A,Bin U, então
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B,
logo A+Bin U.
3. Para qualquer alphainR e Ain U,
(alpha A)^T=alpha A^T=alpha A,
logo alpha Ain U.
Isso basta para concluir que U é subespaço de Mn(R).

Passo 3

Mostramos que W é subespaço.
1. A matriz nula 0 satisfaz 0^T=0=-0, logo 0in W.
2. Se A,Bin W, então
(A+B)^T=A^T+B^T=-A -B=-(A+B),
logo A+Bin W.
3. Para qualquer alphainR e Ain W,
(alpha A)^T=alpha A^T=-alpha A,
logo alpha Ain W.
Assim W também é subespaço de Mn(R).

Passo 4

Mostramos que Mn(R)=Uoplus W.
1. Todo Ain Mn(R) pode ser escrito como
A=12l(A+A^Tr)+12l(A-A^Tr)
Aqui 12(A+A^T)in U (é simétrica) e 12(A-A^T)in W (é antissimétrica). Logo U+W=Mn(R).
2. Se Xin Ucap W, então X^T=X e X^T=-X. Isso força X=-X, i.e.\ X=0. Assim Ucap W=0.
Portanto a soma é direta.

Resposta

Mostramos que U e W são subespaços de Mn(R) e que
Mn(R)=Uoplus W

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