Escreva a equação das retas abaixo nas formas paramétrica, vetorial e simétrica:
Passa por P0=(2,0,-1) e tem vetor diretor v=(2,-1,4)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta em R^3 que passa por P0=(2,0,-1) e tem vetor diretor vec v=(2,-1,4). O conteúdo aqui é a representação de retas em três formas equivalentes: paramétrica, vetorial e simétrica, todas baseadas na ideia de que qualquer ponto P da reta pode ser obtido como
OP = OP0 + t,vec v,
onde tinR é o parâmetro.

Passo 2

Para a forma paramétrica, escrevemos as coordenadas de P=(x,y,z) em função de t. Se
OP0 = (2,0,-1), vec v=(2,-1,4),
então
(x,y,z) = (2,0,-1) + t,(2,-1,4)
se traduz em
x = 2 + 2t, y = 0 - t, z = -1 + 4t

Passo 3

Para a forma vetorial, agrupamos tudo num único vetor-posição r. Chamando
r=(x,y,z) e r0=(2,0,-1), temos
r = r0 + t,vec v Longrightarrow r = (2,0,-1) + t,(2,-1,4)

Passo 4

Para a forma simétrica, isolamos t em cada equação paramétrica e igualamos:
t = x - 22 ;=; y - 0-1 ;=; z + 14

Resposta

Forma paramétrica:
x = 2 + 2t, y = -,t, z = -1 + 4t,
Forma vetorial:
(x,y,z) = (2,0,-1) + t,(2,-1,4),
Forma simétrica:
x - 22 = y-1 = z + 14

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