Considere o espaço vetorial P3(R).
(a) Mostre que P3(R) é uma base de p(t)=2-3 t+t^2+2 t^3.
(b) Encontre as coordenadas do polinômio B em relação a base .

Passo 1

O exercício está em B, o espaço dos polinômios de grau ≤3. No item (a) a gente quer mostrar que é base, ou seja, é um conjunto de 4 polinômios linearmente independentes (já que ). No item (b) vamos escrever como combinação linear dos elementos de $B$ e encontrar as coordenadas.

Passo 2

Para provar a independência linear de , suponha que existam escalares tais que a combinação seja o polinômio nulo:

Passo 3

alpha0cdot1+alpha1(1-t)+alpha2(1-t)^2+alpha3(1-t)^3=0

Passo 4

Expandindo $(1-t)^2$ e $(1-t)^3$:

Passo 5

(1-t)^2=1-2t+t^2,

Passo 6

(1-t)^3=1-3t+3t^2-t^3

Passo 7

Agora somamos tudo e agrupamos pelos termos :

Passo 8

underbracealpha0+alpha1+alpha2+alpha3coef de 1 +underbrace(-alpha1-2alpha2-3alpha3)coef de t,t +underbrace(alpha2+3alpha3)coef de t^2,t^2 +underbrace(-alpha3)coef de t^3,t^3=0

Passo 9

Como o polinômio é nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isso leva ao sistema

Passo 10

alpha0+alpha1+alpha2+alpha3=0, -alpha1-2alpha2-3alpha3=0, alpha2+3alpha3=0, -alpha3=0

Passo 11

Da última equação vem . Substituindo nas outras, obtemos . Como só existe a solução trivial, é linearmente independente e, por ter 4 elementos, é base de .

Passo 12

Para (b), escrevemos

Passo 13

2-3t+t^2+2t^3=c0cdot1+c1(1-t)+c2(1-t)^2+c3(1-t)^3

Passo 14

Repetimos a expansão de $(1-t)^2$ e $(1-t)^3$ e agrupamos coeficientes, obtendo o sistema

Passo 15

c0+c1+c2+c3=2, - c1-2c2-3c3=-3, c2+3c3=1, - c3=2

Passo 16

Da última equação vem c2+3c3=1. Substituindo em $c_2+3c_3=1$ dá -c1-2c2-3c3=-3. Subindo para $-c_1-2c_2-3c_3=-3$ resulta c0+c1+c2+c3=2. Finalmente $c_0+c_1+c_2+c_3=2$ dá .

Resposta

(2,,-5,,7,,-2)

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