Considere o espaço vetorial .
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Encontre as coordenadas do polinômio em relação a base .
Passo 1
O exercício está em , o espaço dos polinômios de grau ≤3. No item (a) a gente quer mostrar que é base, ou seja, é um conjunto de 4 polinômios linearmente independentes (já que ). No item (b) vamos escrever como combinação linear dos elementos de $B$ e encontrar as coordenadas.
Passo 2
Para provar a independência linear de , suponha que existam escalares tais que a combinação seja o polinômio nulo:
Passo 3
Passo 4
Expandindo $(1-t)^2$ e $(1-t)^3$:
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Agora somamos tudo e agrupamos pelos termos :
Passo 8
Passo 9
Como o polinômio é nulo, cada coeficiente deve ser zero. Isso leva ao sistema
Da última equação vem . Substituindo nas outras, obtemos . Como só existe a solução trivial, é linearmente independente e, por ter 4 elementos, é base de .
Passo 12
Para (b), escrevemos
Passo 13
2-3t+t^2+2t^3=c0cdot1+c1(1-t)+c2(1-t)^2+c3(1-t)^3
Passo 14
Repetimos a expansão de $(1-t)^2$ e $(1-t)^3$ e agrupamos coeficientes, obtendo o sistema
Passo 15
c0+c1+c2+c3=2, - c1-2c2-3c3=-3, c2+3c3=1, - c3=2
Passo 16
Da última equação vem c2+3c3=1. Substituindo em $c_2+3c_3=1$ dá -c1-2c2-3c3=-3. Subindo para $-c_1-2c_2-3c_3=-3$ resulta c0+c1+c2+c3=2. Finalmente $c_0+c_1+c_2+c_3=2$ dá .