Seja cc1 & -1 -1 & 2 uma base para o espaço vetorial cc4 & 1 1 & 0 das matrizes reais simétrica cc3 & -2 -2 & 1. Encontre as coordenadas da matriz W em relação à base 2 times 2, onde:
A in W

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de
A=1 & -5-5 & 5 em relação à base
B=M1,M2,M3 do espaço das matrizes simétricas 2×2, onde
M1=1 & -1-1 & 2,
M2=4 & 11 & 0,
M3=3 & -2-2 & 1
O conteúdo aqui é mudança de base em espaço vetorial e vamos precisar montar e resolver um sistema linear para os escalares x,y,z tais que
xM1 + yM2 + zM3 = A.

Passo 2

Para achar x,y,z, escrevemos a combinação linear e igualamos cada entrada a A. Isso gera o sistema
x + 4y + 3z = 1, -x + y - 2z = -5, 2x + 0y + z = 5 Note que a equação do elemento (1,2) é a mesma do (2,1) por simetria.

Passo 3

Da terceira equação isolamos z:
2x + z = 5
Logo
z = 5 - 2x
Substituindo em
-x + y - 2z = -5 temos
- x + y - 2(5 - 2x) = -5
que simplifica para
y + 3x = 5,
logo
y = 5 - 3x

Passo 4

Agora pegamos y=5-3x e z=5-2x e colocamos na primeira equação:
x + 4(5 -3x) + 3(5 -2x) = 1
Fazendo as contas:
x + 20 -12x +15 -6x = 1
-17x +35 = 1 implies -17x = -34 implies x = 2
Então
y = 5 - 3cdot2 = -1,
z = 5 - 2cdot2 = 1

Passo 5

Verificamos rapidamente que com (x,y,z)=(2,-1,1) a combinação linear realmente reconstrói A.

Resposta

(2, -1, 1)

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