Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas de em relação à base do espaço das matrizes simétricas 2×2, onde
O conteúdo aqui é mudança de base em espaço vetorial e vamos precisar montar e resolver um sistema linear para os escalares tais que .
Passo 2
Para achar , escrevemos a combinação linear e igualamos cada entrada a . Isso gera o sistema
Note que a equação do elemento (1,2) é a mesma do (2,1) por simetria.
Passo 3
Da terceira equação isolamos z:
2x + z = 5
Logo
z = 5 - 2x
Substituindo em -x + y - 2z = -5 temos
- x + y - 2(5 - 2x) = -5
que simplifica para
y + 3x = 5,
logo
y = 5 - 3x
Passo 4
Agora pegamos y=5-3x e z=5-2x e colocamos na primeira equação:
x + 4(5 -3x) + 3(5 -2x) = 1
Fazendo as contas:
x + 20 -12x +15 -6x = 1
-17x +35 = 1 implies -17x = -34 implies x = 2
Então
y = 5 - 3cdot2 = -1,
z = 5 - 2cdot2 = 1
Passo 5
Verificamos rapidamente que com (x,y,z)=(2,-1,1) a combinação linear realmente reconstrói A.